L'inégalité de probabilité de Tchebychev

L'inégalité de Chebyshev indique qu'au moins 1-1 /K² des données d'un échantillon doivent relever de K écarts-types de la moyenne (ici K est tout positif nombre réel supérieur à un).

Tout ensemble de données qui est normalement distribué ou sous la forme d'un courbe en cloche, présente plusieurs fonctionnalités. L'un d'eux concerne la dispersion des données par rapport au nombre d'écarts-types par rapport à la moyenne. Dans une distribution normale, nous savons que 68% des données sont un écart-type de la moyenne, 95% est deux écarts-types de la moyenne, et environ 99% se situe à moins de trois écarts-types de la moyenne.

Mais si l'ensemble de données n'est pas distribué sous la forme d'une courbe en cloche, une quantité différente pourrait se trouver à l'intérieur d'un écart-type. L'inégalité de Chebyshev fournit un moyen de savoir quelle fraction des données relève K écarts-types de la moyenne pour tout base de données.

On peut également constater l'inégalité ci-dessus en remplaçant l'expression «données d'un échantillon» par

Il est important de noter que cette inégalité est un résultat qui a été prouvé mathématiquement. Ce n'est pas comme relation empirique entre la moyenne et le mode, ou règle d'or qui relie la plage et l'écart-type.

Pour illustrer l'inégalité, nous allons l'examiner pour quelques valeurs de K:

• Pour K = 2 nous avons 1 - 1 /K² = 1 - 1/4 = 3/4 = 75%. Ainsi, l'inégalité de Chebyshev indique qu'au moins 75% des valeurs de données de toute distribution doivent se situer dans les deux écarts-types de la moyenne.
• Pour K = 3 nous avons 1 - 1 /K² = 1 - 1/9 = 8/9 = 89%. Ainsi, l'inégalité de Chebyshev indique qu'au moins 89% des valeurs de données de toute distribution doivent se situer dans les trois écarts-types de la moyenne.
• Pour K = 4 nous avons 1 - 1 /K² = 1 - 1/16 = 15/16 = 93.75%. Ainsi, l'inégalité de Chebyshev indique qu'au moins 93,75% des valeurs de données de toute distribution doivent se situer dans les deux écarts-types de la moyenne.

Supposons que nous ayons échantillonné le poids des chiens dans le refuge pour animaux local et constaté que notre échantillon a une moyenne de 20 livres avec un écart-type de 3 livres. Grâce à l'inégalité de Chebyshev, nous savons qu'au moins 75% des chiens que nous avons échantillonnés ont des poids qui sont deux écarts-types de la moyenne. Deux fois l'écart type nous donne 2 x 3 = 6. Soustrayez et ajoutez ceci de la moyenne de 20. Cela nous indique que 75% des chiens ont un poids de 14 à 26 livres.

Si nous en savons plus sur la distribution avec laquelle nous travaillons, nous pouvons généralement garantir que davantage de données sont à un certain nombre d'écarts-types de la moyenne. Par exemple, si nous savons que nous avons une distribution normale, alors 95% des données sont deux écarts-types de la moyenne. L'inégalité de Chebyshev dit que dans cette situation, nous savons que au moins 75% des données correspondent à deux écarts-types de la moyenne. Comme nous pouvons le voir dans ce cas, il pourrait être bien plus que ces 75%.

La valeur de l'inégalité est qu'elle nous donne un «pire cas» dans lequel les seules choses que nous savons sur nos données d'échantillon (ou distribution de probabilité) sont la moyenne et écart-type. Lorsque nous ne savons rien d'autre sur nos données, l'inégalité de Chebyshev fournit un aperçu supplémentaire de la répartition de l'ensemble de données.

L'inégalité doit son nom au mathématicien russe Pafnuty Chebyshev, qui a déclaré l'inégalité pour la première fois sans preuve en 1874. Dix ans plus tard, l'inégalité a été prouvée par Markov dans son doctorat. thèse. En raison des différences dans la façon de représenter l'alphabet russe en anglais, il est également orthographié Chebyshev comme Tchebysheff.