Comment les combinaisons et les permutations diffèrent

Tout au long des mathématiques et des statistiques, nous devons savoir compter. Cela est particulièrement vrai pour certains probabilité problèmes. Supposons qu'on nous donne un total de n des objets distincts et que vous souhaitez sélectionner r d'eux. Cela touche directement à un domaine des mathématiques connu sous le nom de combinatoire, qui est l'étude du comptage. Deux des principales façons de les compter r objets de n les éléments sont appelés permutations et combinaisons. Ces concepts sont étroitement liés les uns aux autres et se confondent facilement.

Quelle est la différence entre une combinaison et une permutation? L'idée clé est celle de l'ordre. Une permutation fait attention à l'ordre dans lequel nous sélectionnons nos objets. Le même ensemble d'objets, mais pris dans un ordre différent, nous donnera différentes permutations. Avec une combinaison, nous sélectionnons toujours r objets d'un total de n, mais la commande n'est plus prise en compte.

Pour distinguer ces idées, nous considérerons l'exemple suivant: combien de permutations y a-t-il de deux lettres de l'ensemble {a, b, c}?

Ici, nous listons toutes les paires d'éléments de l'ensemble donné, tout en faisant attention à la commande. Il y a un total de six permutations. La liste de tous ces éléments est: ab, ba, bc, cb, ac et ca. Notez que comme permutations un B et ba sont différents parce que dans un cas une a été choisi en premier, et dans l'autre une a été choisi deuxième.

Nous allons maintenant répondre à la question suivante: combien de combinaisons y a-t-il de deux lettres de l'ensemble {a, b, c}?

Puisque nous avons affaire à des combinaisons, nous ne nous soucions plus de la commande. Nous pouvons résoudre ce problème en repensant aux permutations puis en éliminant celles qui contiennent les mêmes lettres. En tant que combinaisons, un B et ba sont considérés comme identiques. Il n'y a donc que trois combinaisons: ab, ac et bc.

Pour les situations que nous rencontrons avec des ensembles plus grands, il est trop long de répertorier toutes les permutations ou combinaisons possibles et de compter le résultat final. Heureusement, il existe des formules qui nous donnent le nombre de permutations ou de combinaisons de n objets pris r à la fois.

Dans ces formules, nous utilisons la notation abrégée de n! appelé nfactorielle. La factorielle dit simplement de multiplier tous les nombres entiers positifs inférieurs ou égaux à n ensemble. Ainsi, par exemple, 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24. Par définition 0! = 1.

Le nombre de permutations de n objets pris r à la fois est donnée par la formule:

P(n,r) = n!/(n - r)!

Le nombre de combinaisons de n objets pris r à la fois est donnée par la formule:

C(n,r) = n!/[r!(n - r)!]

Pour voir les formules à l'œuvre, regardons l'exemple initial. Le nombre de permutations d'un ensemble de trois objets pris deux à la fois est donné par P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Cela correspond exactement à ce que nous avons obtenu en répertoriant toutes les permutations.

Le nombre de combinaisons d'un ensemble de trois objets pris deux à la fois est donné par:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Encore une fois, cela correspond exactement à ce que nous avons vu auparavant.

Les formules font définitivement gagner du temps lorsque l'on nous demande de trouver le nombre de permutations d'un ensemble plus grand. Par exemple, combien y a-t-il de permutations d'un ensemble de dix objets pris trois à la fois? Il faudrait un certain temps pour lister toutes les permutations, mais avec les formules, on voit qu'il y aurait:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 permutations.

Quelle est la différence entre permutations et combinaisons? L'essentiel est que dans les situations de comptage qui impliquent une commande, des permutations doivent être utilisées. Si la commande n'est pas importante, des combinaisons doivent être utilisées.