La probabilité de rouler un Yahtzee

Yahtzee est un jeu de dés impliquant une combinaison de hasard et de stratégie. Un joueur commence son tour en lançant cinq dés. Après ce lancer, le joueur peut décider de relancer n'importe quel nombre de dés. Au maximum, il y a un total de trois lancers pour chaque tour. Après ces trois lancers, le résultat des dés est inscrit sur une feuille de score. Cette feuille de score contient différentes catégories, comme Full house ou grand droit. Chacune des catégories est satisfaite de différentes combinaisons de dés.

La catégorie la plus difficile à remplir est celle d'un Yahtzee. Un Yahtzee se produit lorsqu'un joueur lance cinq du même nombre. À quel point un Yahtzee est-il peu probable? C'est un problème beaucoup plus compliqué que de trouver des probabilités pour deux ou même trois dés. La raison principale est qu'il existe de nombreuses façons d'obtenir cinq dés correspondants pendant trois lancers.

Nous pouvons calculer la probabilité de rouler un Yahtzee en utilisant la formule combinatoire pour les combinaisons et en divisant le problème en plusieurs mutuellement exclusifs cas.

Le cas le plus simple à considérer est d'obtenir un Yahtzee immédiatement au premier lancer. Nous allons d'abord regarder le probabilité de rouler un Yahtzee particulier de cinq deux, puis de l'étendre facilement à la probabilité de n'importe quel Yahtzee.

La probabilité de lancer un deux est de 1/6, et le résultat de chaque dé est indépendant du reste. Ainsi, la probabilité de rouler cinq deux est (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) = 1/7776. La probabilité de lancer cinq d'une sorte de tout autre nombre est également de 1/7776. Puisqu'il y a un total de six nombres différents sur un dé, nous multiplions la probabilité ci-dessus par 6.

Cela signifie que la probabilité d'un Yahtzee au premier lancer est de 6 x 1/7776 = 1/1296 = 0,08 pour cent.

Si nous lançons autre chose que cinq d'une sorte de premier jet, nous devrons relancer certains de nos dés pour essayer d'obtenir un Yahtzee. Supposons que notre premier rouleau en comporte quatre. nous relancerions le dé qui ne correspond pas, puis nous obtiendrions un Yahtzee lors de ce deuxième jet.

La probabilité de rouler un total de cinq deux de cette manière se trouve comme suit:

1. Au premier rouleau, nous en avons quatre. Puisqu'il y a une probabilité 1/6 de rouler à deux et 5/6 de ne pas rouler à deux, on multiplie (1/6) x (1/6) x (1/6) x (1/6) x ( 5/6) = 5/7776.
2. L'un des cinq dés lancés pourrait être le non-deux. Nous utilisons notre formule de combinaison pour C (5, 1) = 5 pour compter combien de façons nous pouvons rouler quatre deux et quelque chose qui n'est pas deux.
3. Nous multiplions et voyons que la probabilité de rouler exactement quatre deux sur le premier jet est de 25/7776.
4. Au deuxième lancer, nous devons calculer la probabilité de lancer un deux. C'est 1/6. Ainsi, la probabilité de lancer un Yahtzee de deux de la manière ci-dessus est (25/7776) x (1/6) = 25/46656.

Pour trouver la probabilité de lancer n'importe quel Yahtzee de cette manière, on trouve en multipliant la probabilité ci-dessus par 6 car il y a six nombres différents sur un dé. Cela donne une probabilité de 6 x 25/46656 = 0,32%.

Mais ce n'est pas la seule façon de rouler un Yahtzee avec deux rouleaux. Toutes les probabilités suivantes se retrouvent de la même manière que ci-dessus:

• Nous pourrions lancer trois exemplaires, puis deux dés qui correspondent à notre deuxième lancer. La probabilité est de 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (1/36) = 0,54%.
• Nous pourrions lancer une paire assortie, et sur notre deuxième lancer trois dés qui correspondent. La probabilité est de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (1/216) = 0,36%.
• Nous pourrions lancer cinq dés différents, enregistrer un dé de notre premier lancer, puis lancer quatre dés qui correspondent au deuxième lancer. La probabilité est de (6! / 7776) x (1/1296) = 0,01 pour cent.

Les cas ci-dessus s'excluent mutuellement. Cela signifie que pour calculer la probabilité de lancer un Yahtzee en deux rouleaux, nous additionnons les probabilités ci-dessus et nous avons environ 1,23%.

Pour la situation la plus compliquée à ce jour, nous allons maintenant examiner le cas où nous utilisons nos trois rouleaux pour obtenir un Yahtzee. Nous pourrions le faire de plusieurs manières et nous devons tous les expliquer.

Les probabilités de ces possibilités sont calculées ci-dessous:

• La probabilité de lancer quatre exemplaires, puis rien, puis de faire correspondre le dernier dé du dernier lancer est de 6 x C (5, 4) x (5/7776) x (5/6) x (1/6) = 0,27 pour cent.
• La probabilité de lancer trois d'un genre, puis rien, puis de correspondre avec la bonne paire sur le dernier rouleau est de 6 x C (5, 3) x (25/7776) x (25/36) x (1/36) = 0,37 pour cent.
• La probabilité de lancer une paire correspondante, puis rien, puis de faire correspondre les trois avec le bon type au troisième lancer est de 6 x C (5, 2) x (100/7776) x (125/216) x (1/216 ) = 0,21%.
• La probabilité de lancer un seul dé, puis rien ne correspondant à cela, puis correspondant aux quatre types corrects lors du troisième lancer est (6! / 7776) x (625/1296) x (1/1296) = 0,003%.
• La probabilité de lancer trois d'un type, correspondant à un dé supplémentaire sur le prochain lancer, suivie par le cinquième dé du troisième lancer correspond à 6 x C (5, 3) x (25/7776) x C (2, 1) x (5/36) x (1/6) = 0,89 pour cent.
• La probabilité de lancer une paire, correspondant à une paire supplémentaire sur le prochain rouleau, suivie par la correspondance le cinquième dé du troisième lancer est 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 2) x (5/216) x (1/6) = 0,89 pour cent.
• La probabilité de lancer une paire, correspondant à un dé supplémentaire lors du prochain lancer, suivie par la correspondance du les deux derniers dés du troisième lancer sont 6 x C (5, 2) x (100/7776) x C (3, 1) x (25/216) x (1/36) = 0,74%.
• La probabilité de lancer un jeton unique, un autre dé correspondant au deuxième jet, puis un jeton triple au troisième jet est de (6! / 7776) x C (4, 1) x (100/1296) x (1/216) = 0,01%.
• La probabilité de lancer un exemplaire unique, un exemplaire unique pour correspondre au deuxième lancer, suivi d'un match au troisième lancer est de (6! / 7776) x C (4, 3) x (5/1296) x (1/6) = 0,02%.
• La probabilité de lancer une pièce unique, une paire pour la faire correspondre au deuxième lancer, puis une autre paire pour la faire correspondre sur le troisième lancer est de (6! / 7776) x C (4, 2) x (25/1296) x (1/36) = 0,03%.

Nous additionnons toutes les probabilités ci-dessus pour déterminer la probabilité de lancer un Yahtzee en trois lancers de dés. Cette probabilité est de 3,43%.

La probabilité d'un Yahtzee en un rouleau est de 0,08%, la probabilité d'un Yahtzee en deux rouleaux est de 1,23% et la probabilité d'un Yahtzee en trois rouleaux est de 3,43%. Puisque chacun de ces éléments s'exclut mutuellement, nous additionnons les probabilités ensemble. Cela signifie que la probabilité d'obtenir un Yahtzee dans un tour donné est d'environ 4,74%. Pour mettre cela en perspective, puisque 1/21 est d'environ 4,74%, par hasard seul, un joueur devrait s'attendre à un Yahtzee tous les 21 tours. En pratique, cela peut prendre plus de temps car une paire initiale peut être défaussée pour rouler pour autre chose, comme un tout droit.