Points max et d'inflexion de la distribution du chi carré

Statistiques mathématiques utilise des techniques issues de diverses branches des mathématiques pour prouver définitivement que les affirmations concernant les statistiques sont vraies. Nous verrons comment utiliser le calcul pour déterminer les valeurs mentionnées ci-dessus à la fois la valeur maximale de la distribution khi-deux, qui correspond à son mode, ainsi que de trouver les points d'inflexion de la Distribution.

Avant de faire cela, nous discuterons des caractéristiques des maxima et des points d'inflexion en général. Nous examinerons également une méthode pour calculer au maximum les points d'inflexion.

Pour un ensemble discret de données, le mode est la valeur la plus fréquente. Sur un histogramme des données, cela serait représenté par la barre la plus haute. Une fois que nous connaissons la barre la plus élevée, nous examinons la valeur des données qui correspond à la base de cette barre. C'est le mode de notre jeu de données.

La même idée est utilisée pour travailler avec une distribution continue. Cette fois, pour trouver le mode, nous recherchons le pic le plus élevé de la distribution. Pour un graphique de cette distribution, la hauteur du pic est une valeur y. Cette valeur y est appelée maximum pour notre graphique car la valeur est supérieure à toute autre valeur y. Le mode est la valeur le long de l'axe horizontal qui correspond à cette valeur y maximale.

Bien que nous puissions simplement regarder un graphique d'une distribution pour trouver le mode, il y a quelques problèmes avec cette méthode. Notre précision est aussi bonne que notre graphique, et nous devrons probablement l'estimer. De plus, il peut être difficile de représenter graphiquement notre fonction.

Une autre méthode qui ne nécessite aucun graphique consiste à utiliser le calcul. La méthode que nous utiliserons est la suivante:

1. Commencez avec la fonction de densité de probabilité F (X) pour notre distribution.
2. Calculez le premier et le deuxième dérivés de cette fonction: F '(X) et F ''(X)
3. Réglez cette dérivée première égale à zéro F '(X) = 0.
4. Résoudre pour X.
5. Branchez la ou les valeurs de l'étape précédente dans la dérivée seconde et évaluez. Si le résultat est négatif, alors nous avons un maximum local à la valeur x.
6. Évaluer notre fonction f (X) à tous les points X de l'étape précédente.
7. Évaluez la fonction de densité de probabilité sur tous les points d'extrémité de son support. Donc, si la fonction a un domaine donné par l'intervalle fermé [a, b], alors évaluez la fonction aux points de terminaison une et b.
8. La valeur la plus élevée aux étapes 6 et 7 sera le maximum absolu de la fonction. La valeur x où ce maximum se produit est le mode de distribution.

Maintenant, nous passons par les étapes ci-dessus pour calculer le mode de la distribution du chi carré avec r degrés de liberté. Nous commençons par la fonction de densité de probabilité F(X) qui s'affiche dans l'image de cet article.

F (X) = K X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Ici K est une constante qui implique la fonction gamma et une puissance de 2. Nous n'avons pas besoin de connaître les détails (cependant, nous pouvons nous référer à la formule dans l'image pour ceux-ci).

La dérivée première de cette fonction est donnée en utilisant le Règle du produit aussi bien que règle de la chaîne:

F '( X ) = K (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Nous définissons cette dérivée égale à zéro et factorisons l'expression sur le côté droit:

0 = K x^{r / 2-1}e^{-x / 2} [(r / 2 - 1)X^-1- 1/2]

Depuis la constante K, le fonction exponentielle et X^{r / 2-1} sont tous différents de zéro, nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par ces expressions. On a alors:

0 = (r / 2 - 1)X^-1- 1/2

Multipliez les deux côtés de l'équation par 2:

0 = (r - 2)X^-1- 1

Ainsi 1 = (r - 2)X^-1et nous concluons en ayant x = r - 2. Il s'agit du point le long de l'axe horizontal où le mode se produit. Il indique la X valeur du pic de notre distribution khi-deux.

Une autre caractéristique d'une courbe concerne la façon dont elle se courbe. Des parties d'une courbe peuvent être concaves vers le haut, comme un U majuscule. Les courbes peuvent également être concaves vers le bas et avoir la forme d'un intersection symbole ∩. Lorsque la courbe passe de concave vers le bas à concave vers le haut, ou vice versa, nous avons un point d'inflexion.

La dérivée seconde d'une fonction détecte la concavité du graphe de la fonction. Si la dérivée seconde est positive, la courbe est concave vers le haut. Si la dérivée seconde est négative, la courbe est concave vers le bas. Lorsque la dérivée seconde est égale à zéro et que le graphique de la fonction change de concavité, nous avons un point d'inflexion.

Afin de trouver les points d'inflexion d'un graphe, nous:

1. Calculez la dérivée seconde de notre fonction F ''(X).
2. Réglez cette dérivée seconde égale à zéro.
3. Résolvez l'équation de l'étape précédente pour X.

Nous voyons maintenant comment suivre les étapes ci-dessus pour la distribution du chi carré. Nous commençons par différencier. D'après les travaux ci-dessus, nous avons vu que la première dérivée de notre fonction est:

F '(X) = K (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2} - (K / 2) X^{r / 2-1}e^{-x / 2}

Nous différencions à nouveau en utilisant deux fois la règle du produit. Nous avons:

F ''( X ) = K (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1)X^{r / 2-2}e^{-x / 2} + (K / 4) X^{r / 2-1}e^{-x / 2} - (K / 2) (r / 2 - 1) X^{r / 2-2}e^{-x / 2}

Nous fixons cette valeur à zéro et divisons les deux côtés par Ke^{-x / 2}

0= (r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (1/2) (r / 2-1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}- (1/ 2)(r/2 - 1) X^{r / 2-2}

En combinant des termes similaires, nous avons:

(r / 2 - 1) (r / 2 - 2)X^{r / 2-3}- (r / 2-1)X^{r / 2-2}+ (1/ 4) X^{r / 2-1}

Multipliez les deux côtés par 4X^{3 - r / 2}, cela nous donne:

0 = (r - 2) (r - 4) - (2r - 4)X+ X^2.

La formule quadratique peut désormais être utilisée pour résoudre X.

X = [(2r - 4) +/- [(2r - 4)² - 4 (r - 2) (r - 4)]^1/2]/2

Nous étendons les termes qui sont pris à la puissance 1/2 et voyons ce qui suit:

(4r² -16r + 16) - 4 (r² -6r + 8) = 8r - 16 = 4 (2r - 4)

Cela signifie que:

X = [(2r - 4) +/- [(4 (2r - 4)]^1/2] / 2 = (r - 2) +/- [2r - 4]^1/2

De cela, nous voyons qu'il y a deux points d'inflexion. De plus, ces points sont symétriques par rapport au mode de distribution car (r - 2) est à mi-chemin entre les deux points d'inflexion.

Nous voyons comment ces deux caractéristiques sont liées au nombre de degrés de liberté. Nous pouvons utiliser ces informations pour aider à l'esquisse d'une distribution khi-deux. Nous pouvons également comparer cette distribution avec d'autres, comme la distribution normale. Nous pouvons voir que les points d'inflexion pour une distribution chi carré se produisent à des endroits différents de points d'inflexion pour la distribution normale.