Une introduction à la courbe de Bell

Une distribution normale est plus communément appelée courbe en cloche. Ce type de courbe apparaît partout statistiques et le monde réel.

Par exemple, après avoir passé un test dans l'une de mes classes, une chose que j'aime faire est de faire un graphique de tous les scores. J'écris généralement 10 plages de points telles que 60-69, 70-79 et 80-89, puis je mets une note de pointage pour chaque score de test dans cette plage. Presque chaque fois que je fais cela, une forme familière émerge. Quelques étudiants s'en sort très bien et quelques-uns s'en sortent très mal. Un tas de scores finissent par s'agglutiner autour du score moyen. Différents tests peuvent entraîner des moyennes et des écarts-types différents, mais la forme du graphique est presque toujours la même. Cette forme est communément appelée courbe en cloche.

Pourquoi appeler cela une courbe en cloche? La courbe en cloche tire son nom tout simplement parce que sa forme ressemble à celle d'une cloche. Ces courbes apparaissent tout au long de l'étude des statistiques et leur importance ne peut être surestimée.

Pour être technique, les types de courbes en cloche qui nous intéressent le plus en statistiques sont en fait appelés normaux distributions de probabilité. Pour ce qui suit, nous supposerons simplement que les courbes en cloche dont nous parlons sont des distributions de probabilité normales. Malgré le nom de «courbe en cloche», ces courbes ne sont pas définies par leur forme. Au lieu de cela, un regard intimidant formule est utilisé comme définition formelle des courbes en cloche.

Mais nous n'avons vraiment pas besoin de trop nous soucier de la formule. Les deux seuls chiffres qui nous intéressent sont la moyenne et l'écart type. La courbe en cloche pour un ensemble de données donné a le centre situé à la moyenne. C'est là que se trouve le point le plus haut de la courbe ou «haut de la cloche». L'écart type d'un ensemble de données détermine la répartition de notre courbe en cloche. Plus l'écart-type est grand, plus la courbe est étalée.

Il existe plusieurs caractéristiques des courbes en cloche qui sont importantes et les distinguent des autres courbes en statistiques:

• Une courbe en cloche a un mode, qui coïncide avec la moyenne et la médiane. C'est le centre de la courbe où il est au plus haut.
• Une courbe en cloche est symétrique. S'il était plié le long d'une ligne verticale à la moyenne, les deux moitiés correspondraient parfaitement car elles sont des images miroir l'une de l'autre.
• Une courbe en cloche suit la règle 68-95-99.7, qui fournit un moyen pratique d'effectuer des calculs estimés:
  • Environ 68% de toutes les données se situent à l'intérieur d'un écart-type de la moyenne.
  • Environ 95% de toutes les données se trouvent dans les deux écarts-types de la moyenne.
  • Environ 99,7% des données se situent dans les trois écarts-types de la moyenne.

Si nous savons qu'une courbe en cloche modélise nos données, nous pouvons utiliser les caractéristiques ci-dessus de la courbe en cloche pour en dire un peu. Pour revenir à l'exemple du test, supposons que 100 étudiants ont passé un test statistique avec un score moyen de 70 et un écart-type de 10.

L'écart type est de 10. Soustrayez et ajoutez 10 à la moyenne. Cela nous donne 60 et 80. Selon la règle 68-95-99.7, nous nous attendons à ce qu'environ 68% des 100, soit 68 élèves, obtiennent entre 60 et 80 au test.

L'écart type est deux fois 20. Si nous soustrayons et ajoutons 20 à la moyenne, nous avons 50 et 90. On s'attendrait à ce que 95% des 100 ou 95 élèves obtiennent entre 50 et 90 au test.

Un calcul similaire nous indique que tout le monde a obtenu entre 40 et 100 au test.

Il existe de nombreuses applications pour les courbes en cloche. Ils sont importants en statistiques car ils modélisent une grande variété de données réelles. Comme mentionné ci-dessus, les résultats des tests sont un endroit où ils apparaissent. En voici d'autres:

• Mesures répétées d'une pièce d'équipement
• Mesures des caractéristiques en biologie
• Approximation d'événements aléatoires tels que lancer une pièce plusieurs fois
• Taille des élèves à un niveau scolaire particulier dans un district scolaire

Même s'il existe d'innombrables applications des courbes en cloche, il n'est pas approprié de les utiliser dans toutes les situations. Certains ensembles de données statistiques, comme les pannes d'équipement ou la répartition des revenus, ont des formes différentes et ne sont pas symétriques. D'autres fois, il peut y avoir deux modes ou plus, par exemple lorsque plusieurs élèves réussissent très bien et plusieurs très mal à un test. Ces applications nécessitent l'utilisation d'autres courbes définies différemment de la courbe en cloche. La connaissance de la façon dont l'ensemble de données en question a été obtenu peut aider à déterminer si une courbe en cloche doit être utilisée pour représenter les données ou non.