Solutions pour résoudre les problèmes de comptage

Le comptage peut sembler une tâche facile à effectuer. Alors que nous approfondissons le domaine de mathématiques connu comme combinatoire, nous réalisons que nous rencontrons un grand nombre. Depuis le factorielle apparaît si souvent, et un nombre tel que 10! est supérieur à trois million, les problèmes de comptage peuvent se compliquer très rapidement si nous essayons d'énumérer toutes les possibilités.

Parfois, lorsque nous considérons toutes les possibilités que nos problèmes de comptage peuvent prendre, il est plus facile de réfléchir aux principes sous-jacents du problème. Cette stratégie peut prendre beaucoup moins de temps que d'essayer la force brute pour répertorier un certain nombre de combinaisons ou permutations.

La question "De combien de façons peut-on faire quelque chose?" est une question entièrement différente de "Quels sont les moyens que quelque chose peut être fait? "Nous verrons cette idée à l'œuvre dans l'ensemble suivant de comptage difficile problèmes.

L'ensemble de questions suivant concerne le mot TRIANGLE. Notez qu'il y a un total de huit lettres. Sachez que le

1. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées?
   Solution: Ici, il y a un total de huit choix pour la première lettre, sept pour la deuxième, six pour la troisième, etc. Par le principe de multiplication, nous multiplions pour un total de 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 8! = 40 320 manières différentes.
2. De combien de façons les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans cet ordre exact)?
   Solution: Les trois premières lettres ont été choisies pour nous, nous laissant cinq lettres. Après RAN, nous avons cinq choix pour la lettre suivante, suivis de quatre, puis trois, puis deux puis un. Par le principe de multiplication, il y a 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5! = 120 façons d'organiser les lettres d'une manière spécifiée.
3. De combien de manières les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n'importe quel ordre)?
   Solution: Considérez cela comme deux tâches indépendantes: la première organisant les lettres RAN et la seconde organisant les cinq autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d'organiser le RAN et 5! Façons d'organiser les cinq autres lettres. Il y en a donc au total 3! x 5! = 720 façons d'organiser les lettres de TRIANGLE comme spécifié.
4. De combien de manières les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n'importe quel ordre) et la dernière lettre doit être une voyelle?
   Solution: Considérez ceci comme trois tâches: la première organisant les lettres RAN, la seconde choisissant une voyelle parmi I et E, et la troisième organisant les quatre autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d'organiser le RAN, 2 façons de choisir une voyelle parmi les lettres restantes et 4! Façons d'organiser les quatre autres lettres. Il y en a donc au total 3! X 2 x 4! = 288 façons d'organiser les lettres de TRIANGLE comme spécifié.
5. De combien de manières les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si les trois premières lettres doivent être RAN (dans n'importe quel ordre) et les trois lettres suivantes doivent être TRI (dans n'importe quel ordre)?
   Solution: Encore une fois, nous avons trois tâches: la première organisation des lettres RAN, la deuxième organisation des lettres TRI et la troisième organisation des deux autres lettres. Il y a 3! = 6 façons d'organiser le RAN, 3! façons d'organiser le TRI et deux façons d'organiser les autres lettres. Il y en a donc au total 3! x 3! X 2 = 72 façons d'organiser les lettres de TRIANGLE comme indiqué.
6. De combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l'ordre et le placement des voyelles IAE ne peuvent pas être modifiés?
   Solution: Les trois voyelles doivent être conservées dans le même ordre. Il y a maintenant un total de cinq consonnes à organiser. Cela peut se faire en 5! = 120 voies.
7. Combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l'ordre des voyelles IAE ne peut pas être changé, bien que leur placement puisse être (IAETRNGL et TRIANGEL sont acceptables mais EIATRNGL et TRIENGLA ne pas)?
   Solution: Ceci est mieux pensé en deux étapes. La première étape consiste à choisir les endroits où vont les voyelles. Ici, nous choisissons trois places sur huit, et l'ordre dans lequel nous le faisons n'est pas important. Ceci est une combinaison et il y a un total de C(8,3) = 56 façons d'effectuer cette étape. Les cinq lettres restantes peuvent être organisées en 5! = 120 voies. Cela donne un total de 56 x 120 = 6720 arrangements.
8. De combien de manières différentes les lettres du mot TRIANGLE peuvent-elles être arrangées si l'ordre des voyelles IAE peut être changé, bien que leur placement ne le soit pas?
   Solution: C'est vraiment la même chose que # 4 ci-dessus, mais avec des lettres différentes. Nous organisons trois lettres en 3! = 6 voies et les cinq autres lettres en 5! = 120 voies. Le nombre total de voies pour cet arrangement est de 6 x 120 = 720.
9. De combien de manières différentes peut-on organiser six lettres du mot TRIANGLE?
   Solution: Puisque nous parlons d'un arrangement, ceci est une permutation et il y a un total de P( 8, 6) = 8!/2! = 20 160 voies.
10. Combien de manières différentes peut-on organiser six lettres du mot TRIANGLE s'il doit y avoir un nombre égal de voyelles et de consonnes?
    Solution: Il n'y a qu'une seule façon de sélectionner les voyelles que nous allons placer. Le choix des consonnes peut se faire en C(5, 3) = 10 voies. Il y en a alors 6! façons d'organiser les six lettres. Multipliez ces nombres ensemble pour le résultat de 7200.
11. Combien de manières différentes peut-on organiser six lettres du mot TRIANGLE s'il doit y avoir au moins une consonne?
    Solution: Chaque arrangement de six lettres remplit les conditions, il y a donc P(8, 6) = 20 160 voies.
12. Combien de manières différentes peut-on organiser six lettres du mot TRIANGLE si les voyelles doivent alterner avec des consonnes?
    Solution: Il y a deux possibilités, la première lettre est une voyelle ou la première lettre est une consonne. Si la première lettre est une voyelle, nous avons trois choix, suivis de cinq pour une consonne, deux pour une deuxième voyelle, quatre pour une deuxième consonne, un pour la dernière voyelle et trois pour la dernière consonne. Nous multiplions cela pour obtenir 3 x 5 x 2 x 4 x 1 x 3 = 360. Par des arguments de symétrie, il y a le même nombre d'arrangements qui commencent par une consonne. Cela donne un total de 720 arrangements.
13. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE?
    Solution: Puisque nous parlons d'un ensemble de quatre lettres sur un total de huit, la commande n'est pas importante. Nous devons calculer la combinaison C(8, 4) = 70.
14. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE qui a deux voyelles et deux consonnes?
    Solution: Ici, nous formons notre ensemble en deux étapes. Il y a C(3, 2) = 3 façons de choisir deux voyelles sur un total de 3. Il y a C(5, 2) = 10 façons de choisir des consonnes parmi les cinq disponibles. Cela donne un total de 3x10 = 30 ensembles possibles.
15. Combien d'ensembles différents de quatre lettres peuvent être formés à partir du mot TRIANGLE si nous voulons au moins une voyelle?
    Solution: Cela peut être calculé comme suit:

• Le nombre d'ensembles de quatre avec une voyelle est C(3, 1) x C( 5, 3) = 30.
• Le nombre d'ensembles de quatre avec deux voyelles est C(3, 2) x C( 5, 2) = 30.
• Le nombre d'ensembles de quatre avec trois voyelles est C(3, 3) x C( 5, 1) = 5.

Cela donne un total de 65 ensembles différents. Alternativement, nous pourrions calculer qu'il y a 70 façons de former un ensemble de quatre lettres et de soustraire C(5, 4) = 5 façons d'obtenir un ensemble sans voyelles.