Quelle est la valeur attendue de la probabilité?

Vous êtes à un carnaval et vous voyez un match. Pour 2 $, vous lancez un dé standard à six faces. Si le nombre affiché est un six, vous gagnez 10 $, sinon, vous ne gagnez rien. Si vous essayez de gagner de l'argent, est-ce dans votre intérêt de jouer au jeu? Pour répondre à une question comme celle-ci, nous avons besoin du concept de valeur attendue.

La valeur attendue peut vraiment être considérée comme la moyenne d'une variable aléatoire. Cela signifie que si vous avez exécuté une expérience de probabilité encore et encore, en gardant une trace des résultats, la valeur attendue est la moyenne de toutes les valeurs obtenues. La valeur attendue est ce que vous devez anticiper sur le long terme de nombreux essais d'un jeu de hasard.

Le jeu de carnaval mentionné ci-dessus est un exemple de variable aléatoire discrète. La variable n'est pas continue et chaque résultat nous parvient en un nombre qui peut être séparé des autres. Pour trouver la valeur attendue d'un jeu qui a des résultats X₁, X₂,..., X_n avec probabilités p₁, p₂,... , p_n, calculez:

X₁p₁ + X₂p₂ +... + X_np_n.

Pour le jeu ci-dessus, vous avez une probabilité de 5/6 de ne rien gagner. La valeur de ce résultat est -2 puisque vous avez dépensé 2 $ pour jouer au jeu. Un six a une probabilité de 1/6 de se présenter, et cette valeur a un résultat de 8. Pourquoi 8 et non 10? Encore une fois, nous devons tenir compte des 2 $ que nous avons payés pour jouer, et 10 - 2 = 8.

Maintenant, branchez ces valeurs et probabilités dans la valeur attendue formule de valeur et finir avec: -2 (5/6) + 8 (1/6) = -1/3. Cela signifie qu'à long terme, vous devez vous attendre à perdre en moyenne environ 33 cents à chaque fois que vous jouez à ce jeu. Oui, vous gagnerez parfois. Mais vous perdrez plus souvent.

Supposons maintenant que le jeu de carnaval ait été légèrement modifié. Pour le même droit d'entrée de 2 $, si le nombre affiché est un six, vous gagnez 12 $, sinon, vous ne gagnez rien. La valeur attendue de ce jeu est -2 (5/6) + 10 (1/6) = 0. À long terme, vous ne perdrez pas d'argent, mais vous n'en gagnerez pas. Ne vous attendez pas à voir un jeu avec ces numéros à votre carnaval local. Si à long terme, vous ne perdrez pas d'argent, le carnaval n'en gagnera pas.

Maintenant, tournez-vous vers le casino. De la même manière que précédemment, nous pouvons calculer la valeur attendue des jeux de hasard comme la roulette. Aux États-Unis, une roulette a 38 emplacements numérotés de 1 à 36, 0 et 00. La moitié des 1-36 sont rouges, la moitié sont noires. 0 et 00 sont verts. Une balle atterrit au hasard dans l'une des cases et les paris sont placés à l'endroit où la balle va atterrir.

L'un des paris les plus simples consiste à miser sur le rouge. Ici, si vous misez 1 $ et que la balle atterrit sur un numéro rouge dans la roue, vous gagnerez 2 $. Si la balle atterrit sur un espace noir ou vert dans la roue, alors vous ne gagnez rien. Quelle est la valeur attendue d'un tel pari? Puisqu'il y a 18 espaces rouges, il y a une probabilité de gagner 18/38, avec un gain net de 1 $. Il y a une probabilité de 20/38 de perdre votre mise initiale de 1 $. La valeur attendue de ce pari en roulette est 1 (18/38) + (-1) (20/38) = -2/38, ce qui représente environ 5,3 cents. Ici, la maison a un léger avantage (comme avec tous les jeux de casino).

Comme autre exemple, considérons un loterie. Bien que des millions puissent être gagnés pour le prix d'un billet de 1 $, la valeur attendue d'un jeu de loterie montre à quel point il est injustement construit. Supposons que pour 1 $, vous choisissez six numéros de 1 à 48. La probabilité de choisir correctement les six nombres est de 1/12 271 512. Si vous gagnez 1 million de dollars en obtenant les six bonnes réponses, quelle est la valeur attendue de cette loterie? Les valeurs possibles sont - 1 $ pour perdre et 999 999 $ pour gagner (encore une fois, nous devons tenir compte du coût de jeu et le soustraire des gains). Cela nous donne une valeur attendue de:

(-1)(12,271,511/12,271,512) + (999,999)(1/12,271,512) = -.918

Donc, si vous jouez à la loterie encore et encore, à long terme, vous perdez environ 92 cents - presque la totalité du prix de votre billet - chaque fois que vous jouez.

Tous les exemples ci-dessus regardent un discret Variable aléatoire. Cependant, il est également possible de définir la valeur attendue pour une variable aléatoire continue. Tout ce que nous devons faire dans ce cas est de remplacer la somme de notre formule par une intégrale.

Il est important de se rappeler que la valeur attendue est la moyenne après de nombreux essais d'un processus aléatoire. À court terme, la moyenne d'une variable aléatoire peut différer considérablement de la valeur attendue.