Mathématiques vectorielles: une introduction basique mais complète

Il s'agit d'une introduction de base, bien que nous espérons assez complète, à l'utilisation des vecteurs. Les vecteurs se manifestent de différentes manières, depuis le déplacement, la vitesse et l'accélération jusqu'aux forces et aux champs. Cet article est consacré aux mathématiques des vecteurs; leur application dans des situations spécifiques sera traitée ailleurs.

UNE quantité de vecteur, ou vecteur, fournit des informations non seulement sur l'amplitude, mais également sur la direction de la quantité. Lorsque vous donnez des directions à une maison, il ne suffit pas de dire qu'elle est à 10 miles de distance, mais la direction de ces 10 miles doit également être fournie pour que l'information soit utile. Les variables qui sont des vecteurs seront indiquées par une variable en gras, bien qu'il soit courant de voir des vecteurs indiqués par de petites flèches au-dessus de la variable.

Tout comme nous ne disons pas que l'autre maison est à -10 miles de distance, la grandeur d'un vecteur est toujours un nombre positif, ou plutôt la valeur absolue de la "longueur" du vecteur (bien que le la quantité peut ne pas être une longueur, elle peut être une vitesse, une accélération, une force, etc.) Un négatif devant un vecteur n'indique pas un changement de magnitude, mais plutôt dans la direction du vecteur.

Dans les exemples ci-dessus, la distance est la quantité scalaire (10 miles) mais déplacement est la quantité vectorielle (10 miles au nord-est). De même, la vitesse est une quantité scalaire tandis que la vitesse est un vecteur quantité.

UNE vecteur d'unité est un vecteur de magnitude un. Un vecteur représentant un vecteur unitaire est généralement également en gras, bien qu'il ait un carat (^) au-dessus pour indiquer la nature unitaire de la variable. Le vecteur unitaire X, lorsqu'il est écrit avec un carat, est généralement lu comme "x-hat" car le carat ressemble un peu à un chapeau sur la variable.

le vecteur zéro, ou vecteur nul, est un vecteur de magnitude nulle. Il est écrit comme 0 dans cet article.

Les vecteurs sont généralement orientés sur un système de coordonnées, dont le plus populaire est le plan cartésien bidimensionnel. Le plan cartésien a un axe horizontal appelé x et un axe vertical appelé y. Certaines applications avancées des vecteurs en physique nécessitent l'utilisation d'un espace tridimensionnel, dans lequel les axes sont x, y et z. Cet article traitera principalement du système bidimensionnel, bien que les concepts puissent être étendus avec soin à trois dimensions sans trop de problèmes.

Les vecteurs dans les systèmes de coordonnées à plusieurs dimensions peuvent être divisés en leurs vecteurs composants. Dans le cas bidimensionnel, cela se traduit par un composant x et un composante y. Lors de la division d'un vecteur en ses composants, le vecteur est une somme des composants:

F = F_X + F_y

thêtaF_XF_yF

F_X / F = cos thêta et F_y / F = péché thêtace qui nous donne
F_X = F cos thêta et F_y = F péché thêta

Notez que les nombres ici sont les magnitudes des vecteurs. Nous connaissons la direction des composants, mais nous essayons de trouver leur magnitude, nous supprimons donc les informations directionnelles et effectuons ces calculs scalaires pour déterminer la magnitude. Une application plus poussée de la trigonométrie peut être utilisée pour trouver d'autres relations (telles que la tangente) reliant certaines de ces quantités, mais je pense que cela suffit pour l'instant.

Pendant de nombreuses années, les seules mathématiques qu'un étudiant apprend sont les mathématiques scalaires. Si vous voyagez 5 miles au nord et 5 miles à l'est, vous avez parcouru 10 miles. L'ajout de quantités scalaires ignore toutes les informations sur les directions.

Les vecteurs sont manipulés quelque peu différemment. La direction doit toujours être prise en compte lors de leur manipulation.

Lorsque vous ajoutez deux vecteurs, c'est comme si vous preniez les vecteurs et les plaçiez bout à bout et créiez un nouveau vecteur allant du point de départ au point d'arrivée. Si les vecteurs ont la même direction, cela signifie simplement ajouter les grandeurs, mais s'ils ont des directions différentes, cela peut devenir plus complexe.

Vous ajoutez des vecteurs en les divisant en leurs composants, puis en ajoutant les composants, comme ci-dessous:

une + b = c
une_X + une_y + b_X + b_y =
( une_X + b_X) + ( une_y + b_y) = c_X + c_y

Les deux composantes x donneront la composante x de la nouvelle variable, tandis que les deux composantes y donneront la composante y de la nouvelle variable.

L'ordre dans lequel vous ajoutez les vecteurs n'a pas d'importance. En fait, plusieurs propriétés de l'addition scalaire sont valables pour l'addition vectorielle:

Propriété d'identité de l'ajout de vecteur
une + 0 = une
Propriété inverse de l'addition vectorielle
une + -une = une - une = 0
Propriété réfléchissante de l'addition vectorielle
une = une
Propriété commutative d'addition vectorielle
une + b = b + une
Propriété associative d'addition vectorielle
(une + b) + c = une + (b + c)
Propriété transitive d'addition vectorielle
Si une = b et c = b, puis une = c

L'opération la plus simple qui puisse être effectuée sur un vecteur est de le multiplier par un scalaire. Cette multiplication scalaire modifie la magnitude du vecteur. En d'autres termes, cela rend le vecteur plus long ou plus court.

Lors de la multiplication par un scalaire négatif, le vecteur résultant pointera dans la direction opposée.

le produit scalaire de deux vecteurs est un moyen de les multiplier ensemble pour obtenir une quantité scalaire. Ceci est écrit comme une multiplication des deux vecteurs, avec un point au milieu représentant la multiplication. En tant que tel, il est souvent appelé produit scalaire de deux vecteurs.

Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs, vous considérez l'angle entre eux. En d'autres termes, s'ils partageaient le même point de départ, quelle serait la mesure d'angle (thêta) entre eux. Le produit scalaire est défini comme:

une * b = un B cos thêta

un Babba

Dans les cas où les vecteurs sont perpendiculaires (ou thêta = 90 degrés), cos thêta sera nul. Donc, le produit scalaire des vecteurs perpendiculaires est toujours nul. Lorsque les vecteurs sont parallèle (ou thêta = 0 degré), cos thêta est 1, donc le produit scalaire n'est que le produit des grandeurs.

Ces petits faits intéressants peuvent être utilisés pour prouver que, si vous connaissez les composants, vous pouvez éliminer complètement le besoin de thêta avec l'équation (bidimensionnelle):

une * b = une_X b_X + une_y b_y

le produit vectoriel est écrit sous la forme une X b, et est généralement appelé produit croisé de deux vecteurs. Dans ce cas, nous multiplions les vecteurs et au lieu d'obtenir une quantité scalaire, nous obtiendrons une quantité vectorielle. Ceci est le calcul le plus délicat des vecteurs que nous allons traiter, car il est ne pas commutative et implique l'utilisation de la redoutée règle de droite, que j'aborderai sous peu.

Encore une fois, nous considérons deux vecteurs tirés du même point, avec l'angle thêta entre eux. Nous prenons toujours le plus petit angle, donc thêta sera toujours dans une plage de 0 à 180 et le résultat ne sera donc jamais négatif. La magnitude du vecteur résultant est déterminée comme suit:

Si c = une X b, puis c = un B péché thêta

Le produit vectoriel des vecteurs parallèles (ou antiparallèles) est toujours nul

Le produit vectoriel sera perpendiculaire au plan créé à partir de ces deux vecteurs. Si vous imaginez l'avion comme étant à plat sur une table, la question devient si le vecteur résultant va vers le haut (notre "hors" de la table, de notre point de vue) ou vers le bas (ou "dans" la table, de notre la perspective).

Pour comprendre cela, vous devez appliquer ce qu'on appelle le règle de droite. Quand j'ai étudié la physique à l'école, je détesté la règle de droite. Chaque fois que je l'utilisais, je devais sortir le livre pour voir comment cela fonctionnait. J'espère que ma description sera un peu plus intuitive que celle qui m'a été présentée.

Si tu as une X b vous placerez votre main droite le long de b de sorte que vos doigts (sauf le pouce) puissent se courber pour pointer le long une. En d'autres termes, vous essayez en quelque sorte de faire l'angle thêta entre la paume et les quatre doigts de votre main droite. Le pouce, dans ce cas, restera droit (ou hors de l'écran, si vous essayez de le faire jusqu'à l'ordinateur). Vos articulations seront grossièrement alignées avec le point de départ des deux vecteurs. La précision n'est pas essentielle, mais je veux que vous ayez l'idée car je n'ai pas de photo à fournir.

Si toutefois vous envisagez b X une, vous ferez le contraire. Vous mettrez votre main droite une et pointez vos doigts b. Si vous essayez de le faire sur l'écran de l'ordinateur, vous le trouverez impossible, alors utilisez votre imagination. Vous constaterez que, dans ce cas, votre pouce imaginatif pointe vers l'écran de l'ordinateur. C'est la direction du vecteur résultant.

La règle de droite montre la relation suivante:

une X b = - b X une

cabc

c_X = une_y b_z - une_z b_y
c_y = une_z b_X - une_X b_z
c_z = une_X b_y - une_y b_X

un Bc_Xc_yc

À des niveaux supérieurs, les vecteurs peuvent devenir extrêmement complexes à utiliser. Des cours entiers à l'université, comme l'algèbre linéaire, consacrent beaucoup de temps aux matrices (que j'ai aimablement évitées dans cette introduction), aux vecteurs et espaces vectoriels. Ce niveau de détail dépasse le cadre de cet article, mais cela devrait fournir les bases nécessaires à la plupart des manipulations vectorielles effectuées en classe de physique. Si vous avez l'intention d'étudier la physique plus en profondeur, vous serez initié aux concepts vectoriels plus complexes au cours de votre formation.