Fonctions exponentielles raconter les histoires de changements explosifs. Les deux types de fonctions exponentielles sont la croissance exponentielle et la décroissance exponentielle. Quatre variables (variation en pourcentage, temps, quantité au début de la période et quantité à la fin de la période) jouent un rôle dans les fonctions exponentielles. Utilisez une fonction de décroissance exponentielle pour trouver la quantité au début de la période.
Décroissance exponentielle
La décroissance exponentielle est le changement qui se produit lorsqu'une quantité originale est réduite d'un taux constant sur une période de temps.
Voici une fonction de décroissance exponentielle:
y = une(1-b)X
- y: Montant final restant après la décroissance sur une période de temps
- une: Le montant d'origine
- X: Temps
- Le facteur de décroissance est (1-b)
- La variable b est le pourcentage de la diminution sous forme décimale.
But de la recherche du montant d'origine
Si vous lisez cet article, vous êtes probablement ambitieux. Dans six ans, vous voudrez peut-être poursuivre une
diplôme de premier cycle à Dream University. Avec un prix de 120 000 $, Dream University évoque les terreurs financières nocturnes. Après des nuits blanches, vous, maman et papa rencontrez un planificateur financier. Les yeux injectés de sang de vos parents s'éclaircissent lorsque le planificateur révèle qu'un investissement avec un taux de croissance de 8% peut aider votre famille à atteindre l'objectif de 120 000 $. Étudiez dur. Si vous et vos parents investissez 75 620,36 $ aujourd'hui, Dream University deviendra votre réalité grâce à la décroissance exponentielle.Comment résoudre
Cette fonction décrit la croissance exponentielle de l'investissement:
120,000 = une(1 +.08)6
- 120 000: Montant final restant après 6 ans
- .08: Taux de croissance annuel
- 6: Le nombre d'années pour que l'investissement croisse
- une: Le montant initial que votre famille a investi
Grâce à la propriété symétrique d'égalité, 120 000 = une(1 +.08)6 est le même que une(1 +.08)6 = 120,000. La propriété symétrique d'égalité indique que si 10 + 5 = 15, alors 15 = 10 + 5.
Si vous préférez réécrire l'équation avec la constante (120 000) à droite de l'équation, faites-le.
une(1 +.08)6 = 120,000
Certes, l'équation ne ressemble pas à un équation linéaire (6une = 120 000 $), mais il est résoluble. Restez avec lui!
une(1 +.08)6 = 120,000
Ne résolvez pas cette équation exponentielle en divisant 120 000 par 6. C'est un math tentant non-non.
1. Utiliser l'ordre des opérations pour simplifier
une(1 +.08)6 = 120,000
une(1.08)6 = 120 000 (parenthèses)
une(1.586874323) = 120 000 (exposant)
2. Résoudre par partage
une(1.586874323) = 120,000
une(1.586874323) / (1.586874323) = 120,000 / (1.586874323)
1une = 75,620.35523
une = 75,620.35523
Le montant initial à investir est d'environ 75 620,36 $.
3. Gel: Vous n'avez pas encore fini; utiliser l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse
120,000 = une(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1 +.08)6
120,000 = 75,620.35523(1.08)6 (Parenthèse)
120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exposant)
120 000 = 120 000 (multiplication)
Réponses et explications aux questions
Woodforest, Texas, une banlieue de Houston, est déterminée à combler la fracture numérique dans sa communauté. Il y a quelques années, les dirigeants communautaires ont découvert que leurs citoyens étaient analphabètes. Ils n'avaient pas accès au l'Internet et ont été exclus de l'autoroute de l'information. Les dirigeants ont créé le World Wide Web on Wheels, un ensemble de stations informatiques mobiles.
Le World Wide Web sur roues a atteint son objectif de seulement 100 citoyens analphabètes en informatique dans la forêt. Les dirigeants communautaires ont étudié les progrès mensuels du World Wide Web sur roues. Selon les données, le déclin des citoyens analphabètes informatiques peut être décrit par la fonction suivante:
100 = une(1 - .12)10
1. Combien de personnes sont analphabètes en informatique 10 mois après la création du World Wide Web on Wheels?
- 100 personnes
Comparez cette fonction à la fonction de croissance exponentielle d'origine:
100 = une(1 - .12)10
y = une(1 + b)X
le variabley représente le nombre de personnes analphabètes à la fin des 10 mois, donc 100 personnes sont encore analphabètes après que le World Wide Web on Wheels a commencé à travailler dans la communauté.
2. Cette fonction représente-t-elle une décroissance exponentielle ou une croissance exponentielle?
- Cette fonction représente la décroissance exponentielle car un signe négatif se trouve devant le changement de pourcentage (0,12).
3. Quel est le taux de variation mensuel?
- 12 pour cent
4. Combien de personnes étaient analphabètes il y a 10 mois, lors de la création du World Wide Web on Wheels?
- 359 personnes
Utilisationordre des opérations pour simplifier.
100 = une(1 - .12)10
100 = une(.88)10 (Parenthèse)
100 = une(.278500976) (Exposant)
Divisez pour résoudre.
100(.278500976) = une(.278500976) / (.278500976)
359.0651689 = 1une
359.0651689 = une
Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
100 = 359.0651689(1 - .12)10
100 = 359.0651689(.88)10 (Parenthèse)
100 = 359,0651689 (.278500976) (exposant)
100 = 100 (multiplier)
5. Si ces tendances se poursuivent, combien de personnes seront analphabètes en informatique 15 mois après la création du World Wide Web on Wheels?
- 52 personnes
Ajoutez ce que vous savez sur la fonction.
y = 359.0651689(1 - .12) X
y = 359.0651689(1 - .12) 15
Utilisez l'ordre des opérations pour trouver y.
y = 359.0651689(.88)15 (Parenthèse)
y = 359.0651689 (.146973854) (exposant)
y = 52,77319167 (multiplier).