Fonction de génération de moment pour la distribution binomiale

La moyenne et la variance d'une variable aléatoire X avec un distribution de probabilité binomiale peut être difficile à calculer directement. Bien que l'on puisse voir clairement ce qui doit être fait pour utiliser la définition du valeur attendue de X et X², l'exécution réelle de ces étapes est un jonglage délicat d'algèbre et de sommations. Une autre façon de déterminer la moyenne et la variance d'un distribution binomiale est d'utiliser le fonction de génération de moment pour X.

Commencez avec la variable aléatoire X et décrire le distribution de probabilité plus précisement. Effectuer n essais Bernoulli indépendants, dont chacun a des chances de succès p et probabilité d'échec 1 - p. Ainsi, la fonction de masse de probabilité est

F (X) = C(n, X)p^X(1 – p)^{n - X}

Ici le terme C(n, X) indique le nombre de combinaisons de n éléments pris X à la fois, et X peut prendre les valeurs 0, 1, 2, 3,. .., n.

Utilisez cette fonction de masse de probabilité pour obtenir la fonction de génération de moment de X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿe^txC(n,X)>)p^X(1 – p)^{n - X}.

Il devient clair que vous pouvez combiner les termes avec un exposant de X:

M(t) = Σ_{X = 0}ⁿ (pe^t)^XC(n,X)>)(1 – p)^{n - X}.

De plus, en utilisant la formule binomiale, l'expression ci-dessus est simplement:

M(t) = [(1 – p) + pe^t]ⁿ.

Afin de trouver le signifier et la variance, vous aurez besoin de connaître les deux M’(0) et M’’(0). Commencez par calculer vos dérivés, puis évaluez chacun d'eux à t = 0.

Vous verrez que la dérivée première de la fonction de génération de moment est:

M’(t) = n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

À partir de cela, vous pouvez calculer la moyenne de la distribution de probabilité. M(0) = n(pe⁰)[(1 – p) + pe⁰]^{n - 1} = np. Cela correspond à l'expression que nous avons obtenue directement de la définition de la moyenne.

Le calcul de la variance est effectué de manière similaire. Tout d'abord, différenciez à nouveau la fonction de génération de moment, puis nous évaluons cette dérivée à t = 0. Ici vous verrez que

M’’(t) = n(n - 1)(pe^t)²[(1 – p) + pe^t]^{n - 2} + n(pe^t)[(1 – p) + pe^t]^{n - 1}.

Pour calculer la variance de cette variable aléatoire, vous devez trouver M’’(t). Vous avez ici M’’(0) = n(n - 1)p² +np. La variance σ² de votre distribution est

σ² = M’’(0) – [M’(0)]² = n(n - 1)p² +np - (np)² = np(1 - p).

Bien que cette méthode soit quelque peu impliquée, elle n'est pas aussi compliquée que le calcul de la moyenne et de la variance directement à partir de la fonction de masse de probabilité.