Que sont les axiomes de probabilité?

Une stratégie en mathématiques consiste à commencer par quelques énoncés, puis à construire davantage de mathématiques à partir de ces énoncés. Les premières déclarations sont appelées axiomes. Un axiome est généralement quelque chose qui va de soi mathématiquement. À partir d'une liste relativement courte d'axiomes, la logique déductive est utilisée pour prouver d'autres déclarations, appelées théorèmes ou propositions.

Le domaine des mathématiques connu sous le nom de probabilité n'est pas différent. La probabilité peut être réduite à trois axiomes. Cela a d'abord été fait par le mathématicien Andrei Kolmogorov. La poignée d'axiomes qui sont la probabilité sous-jacente peut être utilisée pour déduire tous trie des résultats. Mais quels sont ces axiomes de probabilité?

Afin de comprendre les axiomes de probabilité, nous devons d'abord discuter de quelques définitions de base. Nous supposons que nous avons un ensemble de résultats appelé l'espace d'échantillonnage

Nous supposons également qu'il existe un moyen d'attribuer une probabilité à tout événement E. Cela peut être considéré comme une fonction qui a un ensemble pour une entrée, et un nombre réel comme sortie. La probabilité de un événementE est désigné par P(E).

Le premier axiome de probabilité est que la probabilité de tout événement est un nombre réel non négatif. Cela signifie que le plus petit qu'une probabilité puisse jamais être est zéro et qu'elle ne peut pas être infinie. L'ensemble des nombres que nous pouvons utiliser sont des nombres réels. Cela fait référence à la fois aux nombres rationnels, également appelés fractions, et aux nombres irrationnels qui ne peuvent pas être écrits sous forme de fractions.

Une chose à noter est que cet axiome ne dit rien sur l'ampleur de la probabilité d'un événement. L'axiome élimine la possibilité de probabilités négatives. Il reflète l'idée que la plus petite probabilité, réservée aux événements impossibles, est nulle.

Le deuxième axiome de probabilité est que la probabilité de tout l'espace d'échantillon est de un. Nous écrivons symboliquement P(S) = 1. Implicite dans cet axiome est la notion que l'espace d'échantillon est tout possible pour notre expérience de probabilité et qu'il n'y a aucun événement en dehors de l'espace d'échantillon.

En soi, cet axiome ne fixe pas de limite supérieure sur les probabilités d'événements qui ne sont pas la totalité de l'espace d'échantillonnage. Cela reflète que quelque chose avec une certitude absolue a une probabilité de 100%.

Le troisième axiome de probabilité concerne les événements mutuellement exclusifs. Si E₁ et E₂ sont mutuellement exclusifs, ce qui signifie qu'ils ont une intersection vide et nous utilisons U pour désigner l'union, puis P(E₁ U E₂ ) = P(E₁) + P(E₂).

L'axiome couvre en fait la situation avec plusieurs événements (même infiniment infinis), dont chaque paire s'exclut mutuellement. Tant que cela se produit, le probabilité de l'union des événements est la même que la somme des probabilités:

P(E₁ U E₂ U... U E_n ) = P(E₁) + P(E₂) +... + E_n

Bien que ce troisième axiome puisse ne pas sembler aussi utile, nous verrons que combiné avec les deux autres axiomes, il est en effet assez puissant.

Les trois axiomes fixent une limite supérieure pour la probabilité de tout événement. Nous désignons le complément de l'événement E par E^C. De la théorie des ensembles, E et E^C ont une intersection vide et s'excluent mutuellement. en outre E U E^C = S, l'intégralité de l'espace d'échantillonnage.

Ces faits, combinés aux axiomes, nous donnent:

1 = P(S) = P(E U E^C) = P(E) + P(E^C) .

Nous réorganisons l'équation ci-dessus et voyons que P(E) = 1 - P(E^C). Puisque nous savons que les probabilités doivent être non négatives, nous avons maintenant qu'une limite supérieure pour la probabilité de tout événement est 1.

En réorganisant à nouveau la formule, nous avons P(E^C) = 1 - P(E). Nous pouvons également déduire de cette formule que la probabilité qu'un événement ne se produise pas est un moins la probabilité qu'il se produise.

L'équation ci-dessus nous fournit également un moyen de calculer la probabilité de l'événement impossible, dénoté par l'ensemble vide. Pour voir cela, rappelons que l'ensemble vide est le complément de l'ensemble universel, dans ce cas S^C. Puisque 1 = P(S) + P(S^C) = 1 + P(S^C), par algèbre nous avons P(S^C) = 0.

Ce qui précède ne sont que quelques exemples de propriétés qui peuvent être prouvées directement à partir des axiomes. Il y a beaucoup plus de résultats dans la probabilité. Mais tous ces théorèmes sont des extensions logiques des trois axiomes de probabilité.