Nous apprenons assez tôt dans notre carrière en mathématiques que factorielle, défini pour les entiers non négatifs n, est un moyen de décrire la multiplication répétée. Il est indiqué par l'utilisation d'un point d'exclamation. Par exemple:
La seule exception à cette définition est la factorielle nulle, où 0! = 1. En examinant ces valeurs pour la factorielle, nous pourrions coupler n avec n!. Cela nous donnerait les points (0, 1), (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120), (6, 720), etc. sur.
La définition de la fonction gamma est très complexe. Cela implique une formule complexe qui semble très étrange. La fonction gamma utilise un calcul dans sa définition, ainsi que le nombre e Contrairement aux fonctions plus connues telles que les polynômes ou les fonctions trigonométriques, la fonction gamma est définie comme l'intégrale incorrecte d'une autre fonction.
La définition de la fonction gamma peut être utilisée pour démontrer un certain nombre d'identités. L'un des plus importants d'entre eux est que Γ (
z + 1 ) = z Γ( z ). Nous pouvons utiliser cela, et le fait que Γ (1) = 1 du calcul direct:Mais nous n'avons pas besoin d'entrer uniquement des nombres entiers dans la fonction gamma. Tout nombre complexe qui n'est pas un entier négatif appartient au domaine de la fonction gamma. Cela signifie que nous pouvons étendre la factorielle à des nombres autres que des entiers non négatifs. Parmi ces valeurs, l'un des résultats les plus connus (et surprenants) est que Γ (1/2) = √π.
Un autre résultat similaire au dernier est que Γ (1/2) = -2π. En effet, la fonction gamma produit toujours une sortie d'un multiple de la racine carrée de pi lorsqu'un multiple impair de 1/2 est entré dans la fonction.
La fonction gamma apparaît dans de nombreux domaines mathématiques apparemment sans rapport. En particulier, la généralisation de la factorielle fournie par la fonction gamma est utile dans certains problèmes de combinatoire et de probabilité. Certains distributions de probabilité sont définis directement en fonction de la fonction gamma. Par exemple, la distribution gamma est exprimée en termes de fonction gamma. Cette distribution peut être utilisée pour modéliser l'intervalle de temps entre les tremblements de terre. Distribution t de l'étudiant, qui peut être utilisé pour les données où nous avons un écart-type de population inconnu, et la distribution du chi carré est également définie en termes de fonction gamma.