Une partie importante des statistiques inférentielles est le test d'hypothèse. Comme pour l'apprentissage de tout ce qui touche aux mathématiques, il est utile de travailler à travers plusieurs exemples. Ce qui suit examine un exemple de test d'hypothèse et calcule la probabilité de erreurs de type I et de type II.
Nous supposerons que les conditions simples sont réunies. Plus précisément, nous supposerons que nous avons un échantillon aléatoire simple d'une population qui est soit normalement distribué ou a un échantillon suffisamment grand pour que nous puissions appliquer le théorème de la limite centrale. Nous supposerons également que nous connaissons l'écart type de la population.
Énoncé du problème
Un sac de croustilles est emballé au poids. Un total de neuf sacs sont achetés, pesés et le poids moyen de ces neuf sacs est de 10,5 onces. Supposons que l'écart type de la population de tous ces sacs de chips soit de 0,6 once. Le poids indiqué sur tous les colis est de 11 onces. Définissez un niveau de signification à 0,01.
question 1
L'échantillon confirme-t-il l'hypothèse selon laquelle la moyenne réelle de la population est inférieure à 11 onces?
Nous avons un test à queue inférieure. Cela se voit dans la déclaration de notre hypothèses nulles et alternatives:
- H0: μ=11.
- Hune: μ < 11.
La statistique de test est calculée par la formule
z = (X-bar - μ0)/(σ/√n) = (10.5 - 11)/(0.6/√ 9) = -0.5/0.2 = -2.5.
Nous devons maintenant déterminer la probabilité de cette valeur de z est dû au hasard seul. En utilisant un tableau de z-les scores, nous voyons que la probabilité que z est inférieur ou égal à -2,5 soit 0,0062. Étant donné que cette valeur de p est inférieure à la niveau de signification, nous rejetons l'hypothèse nulle et acceptons l'hypothèse alternative. Le poids moyen de tous les sacs de chips est inférieur à 11 onces.
question 2
Quelle est la probabilité d'une erreur de type I?
Une erreur de type I se produit lorsque nous rejetons une hypothèse nulle qui est vraie. La probabilité d'une telle erreur est égale au niveau de signification. Dans ce cas, nous avons un niveau de signification égal à 0,01, c'est donc la probabilité d'une erreur de type I.
question 3
Si la moyenne de la population est en fait de 10,75 onces, quelle est la probabilité d'une erreur de type II?
Nous commençons par reformuler notre règle de décision en termes de moyenne d'échantillon. Pour un niveau de signification de 0,01, nous rejetons l'hypothèse nulle lorsque z < -2.33. En branchant cette valeur dans la formule des statistiques de test, nous rejetons l'hypothèse nulle lorsque
(X-bar - 11) / (0,6 / √ 9)
De manière équivalente, nous rejetons l'hypothèse nulle lorsque 11 - 2,33 (0,2)> X-bar, ou quand X-bar est inférieur à 10,534. Nous ne rejetons pas l'hypothèse nulle pour X-bar supérieure ou égale à 10,534. Si la moyenne réelle de la population est de 10,75, la probabilité que X-bar est supérieur ou égal à 10,534 est équivalent à la probabilité que z est supérieur ou égal à -0,22. Cette probabilité, qui est la probabilité d'une erreur de type II, est égale à 0,587.