Exemples courants d'ensembles indénombrables

Tous les ensembles infinis ne sont pas identiques. Une façon de distinguer ces ensembles est de demander si l'ensemble est dénombrable infini ou pas. De cette façon, nous disons que les ensembles infinis sont dénombrables ou indénombrables. Nous allons considérer plusieurs exemples d'ensembles infinis et déterminer lesquels sont indénombrables.

Nous commençons par exclure plusieurs exemples d'ensembles infinis. Beaucoup des ensembles infinis auxquels nous penserions immédiatement se révèlent être infiniment dénombrables. Cela signifie qu'ils peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les nombres naturels.

Les nombres naturels, les nombres entiers et les nombres rationnels sont tous infiniment comptables. Toute union ou intersection d'ensembles infiniment dénombrables est également dénombrable. Le produit cartésien de n'importe quel nombre d'ensembles dénombrables est dénombrable. Tout sous-ensemble d'un ensemble dénombrable est également dénombrable.

La façon la plus courante d'introduire des ensembles innombrables est de considérer l'intervalle (0, 1) de nombres réels. De ce fait, et la fonction un-à-un F( X ) = bx + une. c'est un corollaire simple de montrer que tout intervalle (une, b) de nombres réels est infiniment infini.

L'ensemble des nombres réels est également indénombrable. Une façon de le montrer est d'utiliser la fonction tangente un-à-un F ( X ) = bronzage X. Le domaine de cette fonction est l'intervalle (-π / 2, π / 2), un ensemble indénombrable, et la plage est l'ensemble de tous les nombres réels.

Les opérations de la théorie des ensembles de base peuvent être utilisées pour produire plus d'exemples d'ensembles infiniment infinis:

• Si UNE est un sous-ensemble de B et UNE est innombrable, alors B. Cela fournit une preuve plus simple que l'ensemble des nombres réels est indénombrable.
• Si UNE est innombrable et B est un ensemble, alors l'union UNE U B est également innombrable.
• Si UNE est innombrable et B est un ensemble, le produit cartésien UNE X B est également innombrable.
• Si UNE est infini (même infiniment comptable) alors le ensemble de puissance de UNE est innombrable.

Deux autres exemples, liés les uns aux autres, sont quelque peu surprenants. Tous les sous-ensembles des nombres réels ne sont pas infiniment infinis (en effet, les nombres rationnels forment un sous-ensemble dénombrable des réels qui est également dense). Certains sous-ensembles sont infiniment infinis.

L'un de ces sous-ensembles infiniment infinis implique certains types d'extensions décimales. Si nous choisissons deux chiffres et formons chaque expansion décimale possible avec seulement ces deux chiffres, alors l'ensemble infini résultant est indénombrable.

Un autre ensemble est plus compliqué à construire et est également indénombrable. Commencez par l'intervalle fermé [0,1]. Retirez le tiers central de cet ensemble, ce qui donne [0, 1/3] U [2/3, 1]. Maintenant, retirez le tiers central de chacune des pièces restantes de l'ensemble. Donc (1/9, 2/9) et (7/9, 8/9) sont supprimés. Nous continuons de cette façon. L'ensemble des points qui restent après la suppression de tous ces intervalles n'est pas un intervalle, mais il est infiniment infini. Cet ensemble est appelé l'ensemble Cantor.

Il existe une infinité d'ensembles indénombrables, mais les exemples ci-dessus sont parmi les ensembles les plus fréquemment rencontrés.