Les statistiques mathématiques nécessitent parfois l'utilisation de la théorie des ensembles. Les lois de De Morgan sont deux déclarations qui décrivent les interactions entre diverses opérations de théorie des ensembles. Les lois sont que pour deux ensembles UNE et B:
- (UNE ∩ B)C = UNEC U BC.
- (UNE U B)C = UNEC ∩ BC.
Après avoir expliqué ce que signifie chacune de ces déclarations, nous examinerons un exemple de chacune d'elles utilisée.
Définir les opérations théoriques
Pour comprendre ce que disent les lois de De Morgan, nous devons rappeler certaines définitions des opérations de la théorie des ensembles. Plus précisément, nous devons connaître syndicat et intersection de deux ensembles et le complément d'un ensemble.
Les lois de De Morgan concernent l'interaction de l'union, de l'intersection et du complément. Rappeler que:
- L'intersection des ensembles UNE et B se compose de tous les éléments communs aux deux UNE et B. L'intersection est indiquée par UNE ∩ B.
- L'union des décors UNE et B se compose de tous les éléments qui, dans UNE ou B, y compris les éléments des deux ensembles. L'intersection est notée A U B.
- Le complément de l'ensemble UNE se compose de tous les éléments qui ne sont pas des éléments de UNE. Ce complément est noté AC.
Maintenant que nous avons rappelé ces opérations élémentaires, nous allons voir la déclaration des lois de De Morgan. Pour chaque paire d'ensembles UNE et B on a:
- (UNE ∩ B)C = UNEC U BC
- (UNE U B)C = UNEC ∩ BC
Ces deux déclarations peuvent être illustrées par l'utilisation de diagrammes de Venn. Comme vu ci-dessous, nous pouvons démontrer en utilisant un exemple. Afin de démontrer que ces déclarations sont vraies, nous devons les prouver en utilisant des définitions d'opérations de théorie des ensembles.
Exemple des lois de De Morgan
Par exemple, considérons l'ensemble des nombres réels de 0 à 5. Nous écrivons ceci en notation d'intervalle [0, 5]. Dans cet ensemble, nous avons UNE = [1, 3] et B = [2, 4]. De plus, après avoir appliqué nos opérations élémentaires, nous avons:
- Le complément UNEC = [0, 1) U (3, 5]
- Le complément BC = [0, 2) U (4, 5]
- L'Union UNE U B = [1, 4]
- Le carrefour UNE ∩ B = [2, 3]
On commence par calculer l'union UNEC U BC. Nous voyons que l'union de [0, 1) U (3, 5] avec [0, 2) U (4, 5] est [0, 2) U (3, 5]. Le carrefour UNE ∩ B est [2, 3]. On voit que le complément de cet ensemble [2, 3] est aussi [0, 2) U (3, 5]. Nous avons ainsi démontré que UNEC U BC = (UNE ∩ B)C.
Nous voyons maintenant l'intersection de [0, 1) U (3, 5] avec [0, 2) U (4, 5] est [0, 1) U (4, 5]. Nous voyons également que le complément de [1, 4] est également [0, 1) U (4, 5]. Nous avons ainsi démontré que UNEC ∩ BC = (UNE U B)C.
Nommer les lois de De Morgan
Tout au long de l'histoire de la logique, des gens comme Aristote et Guillaume d'Ockham ont fait des déclarations équivalentes aux lois de De Morgan.
Les lois de De Morgan portent le nom d'Augustus De Morgan, qui a vécu de 1806 à 1871. Bien qu'il n'ait pas découvert ces lois, il a été le premier à introduire formellement ces déclarations en utilisant une formulation mathématique dans la logique propositionnelle.