La probabilité de remporter un full à Yahtzee?

Le jeu de Yahtzee implique l'utilisation de cinq dés standard. À chaque tour, les joueurs reçoivent trois jets. Après chaque lancer, n'importe quel nombre de dés peut être conservé dans le but d'obtenir des combinaisons particulières de ces dés. Chaque type de combinaison vaut un nombre de points différent.

Un de ces types de combinaisons est appelé maison pleine. Comme une maison pleine dans le jeu de poker, cette combinaison comprend trois d'un certain nombre ainsi qu'une paire d'un nombre différent. Puisque Yahtzee implique le lancement aléatoire de dés, ce jeu peut être analysé en utilisant la probabilité pour déterminer la probabilité de lancer un full house en un seul lancer.

Nous commencerons par énoncer nos hypothèses. Nous supposons que les dés utilisés sont équitables et indépendants les uns des autres. Cela signifie que nous avons un espace d'échantillonnage uniforme composé de tous les jets possibles des cinq dés. Bien que le jeu de Yahtzee permette trois jets, nous ne considérerons que le cas où nous obtenons un full house en un seul jet.

Puisque nous travaillons avec un uniformeespace d'échantillon, le calcul de notre probabilité devient un calcul de quelques problèmes de comptage. La probabilité d'une maison pleine est le nombre de façons de rouler une maison pleine, divisé par le nombre de résultats dans l'espace échantillon.

Le nombre de résultats dans l'espace échantillon est simple. Puisqu'il y a cinq dés et que chacun de ces dés peut avoir l'un des six résultats différents, le nombre de résultats dans l'espace échantillon est de 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 6⁵ = 7776.

Ensuite, nous calculons le nombre de façons de rouler une maison pleine. C'est un problème plus difficile. Pour avoir une maison pleine, nous avons besoin de trois dés d'un type, suivis d'une paire d'un autre type de dés. Nous allons diviser ce problème en deux parties:

• Quel est le nombre de différents types de maisons pleines qui pourraient être déployées?
• Quel est le nombre de façons de rouler un type particulier de maison pleine?

Une fois que nous connaissons le nombre de chacun d'eux, nous pouvons les multiplier ensemble pour nous donner le nombre total de maisons pleines qui peuvent être roulées.

Nous commençons par examiner le nombre de différents types de maisons pleines qui peuvent être roulées. N'importe lequel des nombres 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 pourrait être utilisé pour les trois d'un genre. Il reste cinq numéros pour la paire. Ainsi, il existe 6 x 5 = 30 types différents de combinaisons de maisons complètes qui peuvent être roulées.

Par exemple, nous pourrions avoir 5, 5, 5, 2, 2 comme un type de maison pleine. Un autre type de maison pleine serait 4, 4, 4, 1, 1. Un autre encore serait 1, 1, 4, 4, 4, ce qui est différent de la salle pleine précédente car les rôles des quatre et des uns ont été inversés.

Maintenant, nous déterminons le nombre différent de façons de rouler une maison pleine particulière. Par exemple, chacun des éléments suivants nous donne la même maison pleine de trois fours et deux:

• 4, 4, 4, 1, 1
• 4, 1, 4, 1, 4
• 1, 1, 4, 4, 4
• 1, 4, 4, 4, 1
• 4, 1, 4, 4, 1

Nous voyons qu'il y a au moins cinq façons de rouler une maison pleine particulière. Y en a-t-il d'autres? Même si nous continuons à énumérer d'autres possibilités, comment savons-nous que nous les avons toutes trouvées?

La clé pour répondre à ces questions est de réaliser que nous avons affaire à un problème de comptage et de déterminer avec quel type de problème de comptage nous travaillons. Il y a cinq postes, et trois d'entre eux doivent être remplis par quatre. L'ordre dans lequel nous plaçons nos quatre pattes n'a pas d'importance tant que les positions exactes sont remplies. Une fois la position des quatre déterminée, le placement de ceux-ci est automatique. Pour ces raisons, nous devons considérer combinaison de cinq positions prises trois à la fois.

Nous utilisons la formule combinée pour obtenir C(5, 3) = 5! / (3! 2!) = (5 x 4) / 2 = 10. Cela signifie qu'il existe 10 façons différentes de rouler une maison pleine donnée.

En rassemblant tout cela, nous avons notre nombre de maisons pleines. Il y a 10 x 30 = 300 façons d'obtenir une maison pleine en un seul rouleau.

Maintenant le probabilité d'une maison pleine est un simple calcul de division. Puisqu'il y a 300 façons de lancer une maison pleine en un seul jet et qu'il y a 7776 rouleaux de cinq dés possibles, la probabilité de lancer une maison pleine est de 300/7776, ce qui est proche de 1/26 et 3,85%. C'est 50 fois plus probable que de lancer un Yahtzee en un seul jet.

Bien sûr, il est très probable que le premier rouleau ne soit pas complet. Si tel est le cas, nous avons alors droit à deux rouleaux supplémentaires, ce qui rend beaucoup plus probable un full. La probabilité de cela est beaucoup plus compliquée à déterminer en raison de toutes les situations possibles qui devraient être prises en compte.