Il existe de nombreuses mains nommées différentes dans le poker. Celui qui est facile à expliquer s'appelle un flush. Ce type de main se compose de chaque carte ayant la même couleur.
Certaines des techniques de la combinatoire, ou l'étude du comptage, peuvent être appliquées pour calculer les probabilités de tirer certains types de mains au poker. La probabilité de recevoir un flush est relativement simple à trouver mais est plus compliquée que de calculer le probabilité d'être traité une quinte royale.
Hypothèses
Pour simplifier, nous supposerons que cinq cartes sont distribuées à partir d'un jeu de cartes standard 52sans remplacement. Aucune carte n'est sauvage, et le joueur conserve toutes les cartes qui lui sont distribuées.
Nous ne nous préoccuperons pas de l'ordre dans lequel ces cartes sont tirées, donc chaque main est un combinaison de cinq cartes tirées d'un jeu de 52 cartes. Il y a un nombre total de C(52, 5) = 2 598 960 mains distinctes possibles. Cet ensemble de mains forme notre espace d'échantillon.
Probabilité de rinçage droit
Nous commençons par trouver la probabilité d'un flush droit. Une quinte flush est une main avec les cinq cartes dans un ordre séquentiel, qui sont toutes de la même couleur. Afin de calculer correctement la probabilité d'une chasse d'eau droite, il y a quelques stipulations que nous devons faire.
Nous ne comptons pas une quinte flush royale comme une quinte flush. Ainsi, la quinte flush la plus élevée consiste en un neuf, dix, un valet, une reine et un roi du même costume. Puisqu'un as peut compter une carte basse ou haute, la quinte flush de rang le plus bas est un as, deux, trois, quatre et cinq de la même couleur. Les lignes droites ne peuvent pas traverser l'as, donc reine, roi, as, deux et trois ne sont pas comptés comme une ligne droite.
Ces conditions signifient qu'il y a neuf couleurs consécutives d'un costume donné. Puisqu'il y a quatre combinaisons différentes, cela fait 4 x 9 = 36 bouffées droites totales. Par conséquent, la probabilité d'une chasse d'eau droite est de 36/2 598 960 = 0,0014%. C'est à peu près l'équivalent de 1/72193. Donc, à long terme, nous nous attendons à voir cette main une fois sur 72 193 mains.
Probabilité de vidage
Un flush se compose de cinq cartes qui sont toutes de la même couleur. Nous devons nous rappeler qu'il y a quatre combinaisons chacune avec un total de 13 cartes. Ainsi, une couleur est une combinaison de cinq cartes sur un total de 13 de la même couleur. Cela se fait en C(13, 5) = 1287 voies. Puisqu'il y a quatre combinaisons différentes, il y a un total de 4 x 1287 = 5148 rinçages possibles.
Certaines de ces couleurs ont déjà été comptées comme des mains de rang supérieur. Il faut soustraire le nombre de quinte flush et de quinte flush royale de 5148 pour obtenir des quintes qui ne soient pas de rang supérieur. Il y a 36 quinte flush et 4 quinte flush royale. Nous devons nous assurer de ne pas compter deux fois ces mains. Cela signifie qu'il y a 5148 - 40 = 5108 rinçages qui ne sont pas d'un rang supérieur.
Nous pouvons maintenant calculer la probabilité d'un rinçage comme 5108/2 598 960 = 0,1965%. Cette probabilité est d'environ 1/509. Donc, à long terme, une main sur 509 est une couleur.
Classements et probabilités
Nous pouvons voir de ce qui précède que le classement de chaque main correspond à sa probabilité. Plus une main est probable, plus elle est faible dans le classement. Plus une main est improbable, plus son classement est élevé.