Comment calculer les chances de Powerball

Powerball est un état multiple loterie qui est très populaire en raison de ses jackpots de plusieurs millions de dollars. Certains de ces jackpots atteignent des valeurs bien supérieures à 100 millions de dollars. Une quête intéressante d'un probabiliste sens est, "Comment sont les chances calculé sur la probabilité de gagnant Powerball? "

Nous allons d'abord examiner les règles de Powerball tel qu'il est actuellement configuré. Lors de chaque tirage, deux tambours remplis de balles sont soigneusement mélangés et randomisés. Le premier tambour contient des boules blanches numérotées de 1 à 59. Cinq sont tirés sans remplacement de ce tambour. Le deuxième tambour a des boules rouges numérotées de 1 à 35. L'un d'eux est dessiné. Le but est de faire correspondre autant de ces nombres que possible.

Le jackpot complet est remporté lorsque les six numéros sélectionnés par un joueur correspondent parfaitement aux boules qui sont tirées. Il existe des prix avec des valeurs moindres pour une correspondance partielle, pour un total de neuf façons différentes de gagner un montant en dollars de Powerball. Ces façons de gagner sont:

• Faire correspondre les cinq boules blanches et la boule rouge remporte le jackpot du grand prix. La valeur de cela varie en fonction du temps écoulé depuis que quelqu'un a gagné ce grand prix.
• Faire correspondre les cinq balles blanches mais pas la balle rouge gagne 1 000 000 $.
• Faire correspondre exactement quatre des cinq boules blanches et la boule rouge gagne 10 000 $.
• Faire correspondre exactement quatre des cinq boules blanches mais pas la boule rouge gagne 100 $.
• Faire correspondre exactement trois des cinq boules blanches et la boule rouge gagne 100 $.
• Faire correspondre exactement trois des cinq boules blanches mais pas la boule rouge gagne 7 $.
• Faire correspondre exactement deux des cinq boules blanches et la boule rouge gagne 7 $.
• Faire correspondre exactement l'une des cinq boules blanches et la boule rouge gagne 4 $.
• Assortir juste la boule rouge mais aucune des boules blanches ne gagne 4 $.

Nous verrons comment calculer chacune de ces probabilités. Tout au long de ces calculs, il est important de noter que l'ordre de sortie des billes du tambour n'est pas important. La seule chose qui compte, c'est le jeu de boules qui est tiré. Pour cette raison, nos calculs impliquent combinaisons et non permutations.

Le nombre total de combinaisons pouvant être dessinées est également utile dans chaque calcul ci-dessous. Nous avons sélectionné cinq des 59 boules blanches, ou en utilisant la notation pour les combinaisons, C (59, 5) = 5 006 386 façons pour que cela se produise. Il y a 35 façons de sélectionner la balle rouge, résultant en 35 x 5 006 386 = 175 223 510 sélections possibles.

Bien que le jackpot correspondant aux six boules soit le plus difficile à obtenir, c'est la probabilité la plus simple à calculer. Sur la multitude de 175 223 510 sélections possibles, il y a exactement une façon de gagner le jackpot. Ainsi, la probabilité qu'un ticket particulier remporte le jackpot est de 1 / 175,223,510.

Pour gagner 1 000 000 $, nous devons faire correspondre les cinq boules blanches, mais pas la rouge. Il n'y a qu'une seule façon de faire correspondre les cinq. Il y a 34 façons de ne pas faire correspondre la balle rouge. La probabilité de gagner 1000000 $ est donc de 34/175 223 510, soit environ 1/5 153 633.

Pour un prix de 10 000 $, nous devons faire correspondre quatre des cinq boules blanches et la rouge. Il y a C (5,4) = 5 façons de faire correspondre quatre des cinq. La cinquième balle doit être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 1) = 54 façons pour que cela se produise. Il n'y a qu'une seule façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 5 x 54 x 1 = 270 façons de faire correspondre exactement quatre boules blanches et la rouge, ce qui donne une probabilité de 270/175 223 510, soit environ 1/648 976.

Une façon de gagner un prix de 100 $ consiste à faire correspondre quatre des cinq boules blanches et non pas la rouge. Comme dans le cas précédent, il existe C (5,4) = 5 façons de faire correspondre quatre des cinq. La cinquième balle doit être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 1) = 54 façons pour que cela se produise. Cette fois, il y a 34 façons de ne pas faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 5 x 54 x 34 = 9180 façons de faire correspondre exactement quatre boules blanches mais pas la rouge, ce qui donne une probabilité de 9180 / 175,223,510, soit environ 1 / 19,088.

Une autre façon de gagner un prix de 100 $ consiste à faire correspondre exactement trois des cinq boules blanches et à faire correspondre la rouge. Il existe C (5,3) = 10 façons de faire correspondre trois des cinq. Les boules blanches restantes doivent être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 2) = 1431 façons pour que cela se produise. Il y a une façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 10 x 1431 x 1 = 14 310 façons de faire correspondre exactement trois boules blanches et la rouge, ce qui donne une probabilité de 14 310/175 223 510, soit environ 1/12 245.

Une façon de gagner un prix de 7 $ est de faire correspondre exactement trois des cinq boules blanches et non pas la rouge. Il existe C (5,3) = 10 façons de faire correspondre trois des cinq. Les boules blanches restantes doivent être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 2) = 1431 façons pour que cela se produise. Cette fois, il y a 34 façons de ne pas faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 10 x 1431 x 34 = 486 540 façons de faire correspondre exactement trois boules blanches mais pas la rouge, ce qui donne une probabilité de 486 540/175 223 510, soit environ 1/360.

Une autre façon de gagner un prix de 7 $ consiste à faire correspondre exactement deux des cinq boules blanches et à faire correspondre la rouge. Il existe C (5,2) = 10 façons de faire correspondre deux des cinq. Les boules blanches restantes doivent être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 3) = 24 804 façons pour que cela se produise. Il y a une façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 10 x 24 804 x 1 = 248 040 façons de faire correspondre exactement deux boules blanches et la rouge, ce qui donne une probabilité de 248 040/175 223 510, soit environ 1/706.

Une façon de gagner un prix de 4 $ est de faire correspondre exactement l'une des cinq boules blanches et aussi la rouge. Il existe C (5,4) = 5 façons de faire correspondre l'un des cinq. Les boules blanches restantes doivent être l'une des 54 restantes qui n'ont pas été tirées, et il y a donc C (54, 4) = 316 251 façons pour que cela se produise. Il y a une façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il y a 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 façons de faire correspondre exactement une boule blanche et la rouge, donnant une probabilité de 1,581,255 / 175,223,510, soit environ 1/111.

Une autre façon de gagner un prix de 4 $ est de ne faire correspondre aucune des cinq boules blanches mais de faire correspondre la rouge. Il y a 54 boules qui ne font partie d'aucune des cinq sélectionnées, et nous avons C (54, 5) = 3 162 510 voies pour que cela se produise. Il y a une façon de faire correspondre la balle rouge. Cela signifie qu'il existe 3 162 510 façons de ne faire correspondre aucune des balles à l'exception de la balle rouge, ce qui donne une probabilité de 3 162 510/175 223 510, soit environ 1/55.

Ce cas est quelque peu contre-intuitif. Il y a 36 boules rouges, nous pouvons donc penser que la probabilité de correspondre à l'une d'entre elles serait de 1/36. Cependant, cela néglige les autres conditions imposées par les boules blanches. De nombreuses combinaisons impliquant la bonne boule rouge incluent également des correspondances sur certaines des boules blanches.