Comment calculer les probabilités de backgammon

Le backgammon est un jeu qui utilise deux dés standard. Les dés utilisés dans ce jeu sont des cubes à six faces et les faces d'un dé ont un, deux, trois, quatre, cinq ou six pépins. Lors d'un tour de backgammon, un joueur peut déplacer ses pions ou ses dames selon les numéros indiqués sur les dés. Les nombres obtenus peuvent être divisés entre deux vérificateurs, ou ils peuvent être totalisés et utilisés pour un seul vérificateur. Par exemple, lorsqu'un 4 et un 5 sont lancés, un joueur a deux options: il peut déplacer un pion de quatre cases et un autre de cinq cases, ou un pion peut être déplacé de neuf cases au total.

Pour formuler des stratégies de backgammon, il est utile de connaître certaines probabilités de base. Puisqu'un joueur peut utiliser un ou deux dés pour déplacer un pion particulier, tout calcul des probabilités gardera cela à l'esprit. Pour nos probabilités de backgammon, nous répondrons à la question: «Lorsque nous lançons deux dés, quelle est la probabilité de lancer le nombre n soit comme une somme de deux dés, soit sur au moins l'un des deux dés? "

Pour un seul dé qui n'est pas chargé, chaque côté est également susceptible d'atterrir face visible. Un seul dé forme un uniformeespace d'échantillon. Il y a un total de six résultats, correspondant à chacun des nombres entiers de 1 à 6. Ainsi, chaque nombre a une probabilité de 1/6 de se produire.

Lorsque nous lançons deux dés, chaque dé est indépendant de l'autre. Si nous gardons l'ordre de quel nombre se produit sur chacun des dés, alors il y a un total de 6 x 6 = 36 résultats tout aussi probables. Ainsi, 36 est le dénominateur de toutes nos probabilités et tout résultat particulier de deux dés a une probabilité de 1/36.

La probabilité de lancer deux dés et d'obtenir au moins l'un d'un nombre compris entre 1 et 6 est simple à calculer. Si nous voulons déterminer la probabilité de lancer au moins un 2 avec deux dés, nous devons savoir combien des 36 résultats possibles incluent au moins un 2. Les façons de procéder sont les suivantes:

(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)

Il y a donc 11 façons de lancer au moins un 2 avec deux dés, et la probabilité de lancer au moins un 2 avec deux dés est de 11/36.

Il n'y a rien de spécial à propos de 2 dans la discussion précédente. Pour tout numéro donné n de 1 à 6:

• Il y a cinq façons de lancer exactement l'un de ce nombre sur le premier dé.
• Il y a cinq façons de lancer exactement l'un de ce nombre sur le deuxième dé.
• Il existe un moyen de lancer ce nombre sur les deux dés.

Il y a donc 11 façons de rouler au moins une n de 1 à 6 en utilisant deux dés. La probabilité que cela se produise est de 11/36.

Tout nombre de deux à 12 peut être obtenu comme la somme de deux dés. le probabilités pour deux dés sont un peu plus difficiles à calculer. Puisqu'il existe différentes manières d'atteindre ces sommes, elles ne forment pas un espace d'échantillonnage uniforme. Par exemple, il y a trois façons de rouler une somme de quatre: (1, 3), (2, 2), (3, 1), mais seulement deux façons de rouler une somme de 11: (5, 6), ( 6, 5).

La probabilité de rouler une somme d'un nombre particulier est la suivante:

• La probabilité de rouler une somme de deux est 1/36.
• La probabilité de rouler une somme de trois est de 2/36.
• La probabilité de rouler une somme de quatre est 3/36.
• La probabilité de rouler une somme de cinq est de 4/36.
• La probabilité de rouler une somme de six est de 5/36.
• La probabilité de rouler une somme de sept est de 6/36.
• La probabilité de rouler une somme de huit est de 5/36.
• La probabilité de rouler une somme de neuf est de 4/36.
• La probabilité de rouler une somme de dix est 3/36.
• La probabilité de rouler une somme de onze est de 2/36.
• La probabilité de rouler une somme de douze est 1/36.

Nous avons enfin tout ce dont nous avons besoin pour calculer les probabilités de backgammon. Le roulement d'au moins un nombre est mutuellement exclusifs de lancer ce nombre comme une somme de deux dés. Ainsi, nous pouvons utiliser le règle d'addition additionner les probabilités pour obtenir n'importe quel nombre de 2 à 6.

Par exemple, la probabilité de lancer au moins un 6 sur deux dés est de 11/36. Lancer un 6 comme somme de deux dés est 5/36. La probabilité de lancer au moins un 6 ou de lancer un six comme somme de deux dés est de 11/36 + 5/36 = 16/36. D'autres probabilités peuvent être calculées de manière similaire.