Décroissance exponentielle et variation en pourcentage

Lorsqu'un montant d'origine est réduit d'un taux constant sur une période de temps, décroissance exponentielle se produit. Cet exemple montre comment résoudre un problème de taux constant ou calculer le facteur de désintégration. La clé pour comprendre le facteur de désintégration est d'apprendre variation en pourcentage.

Voici une fonction de décroissance exponentielle:

y = a (1 – b)^X

où:

• "y" est le montant final restant après la décroissance sur une période de temps
• "a" est le montant d'origine
• "x" représente le temps
• Le facteur de décroissance est (1 – b).
• La variable, b, est le pourcentage de changement sous forme décimale.

Étant donné qu'il s'agit d'un facteur de décroissance exponentielle, cet article se concentre sur la diminution en pourcentage.

Trois exemples aident à illustrer les moyens de trouver le pourcentage de diminution:

La Grèce subit d'énormes difficultés financières car elle doit plus d'argent qu'elle ne peut en rembourser. En conséquence, le gouvernement grec essaie de réduire ses dépenses. Imaginez qu'un expert ait dit aux dirigeants grecs qu'ils devaient réduire leurs dépenses de 20%.

• Quel est le pourcentage de diminution, b, des dépenses de la Grèce? 20 pour cent
• Quel est le facteur de décroissance des dépenses de la Grèce?

Facteur de désintégration:

(1 - b) = (1 - .20) = (.80)

Alors que la Grèce réduit son les dépenses du gouvernement, les experts prédisent que la dette du pays diminuera. Imaginez si la dette annuelle du pays pouvait être modélisée par cette fonction:

y = 500 (1 - 0,30)^X

où "y" signifie des milliards de dollars et "x" représente le nombre d'années depuis 2009.

• Quel est le pourcentage de diminution, b, de la dette annuelle de la Grèce? 30 pour cent
• Quel est le facteur de dégradation de la dette annuelle de la Grèce?

Facteur de désintégration:

(1 - b) = (1 - .30) = .70

Une fois que la Grèce a réduit les services publics et les salaires, imaginez que ces données détaillent la dette annuelle prévue de la Grèce.

• 2009: 500 milliards de dollars
• 2010: 475 milliards de dollars
• 2011: 451,25 milliards de dollars
• 2012: 428,69 milliards de dollars

UNE. Choisissez deux années consécutives pour comparer: 2009: 500 milliards de dollars; 2010: 475 milliards de dollars

B. Utilisez cette formule:

Pourcentage de diminution = (plus ancien - plus récent) / plus ancien:

(500 milliards - 475 milliards) / 500 milliards = 0,05 ou 5%

C. Vérifiez la cohérence. Choisissez deux autres années consécutives: 2011: 451,25 milliards de dollars; 2012: 428,69 milliards de dollars

(451,25 - 428,69) / 451,25 est d'environ 0,05 ou 5%

Le sel est l'éclat des étagères à épices américaines. Glitter transforme le papier de construction et les dessins bruts en cartes chères pour la fête des mères; le sel transforme des aliments autrement fades en favoris nationaux. L'abondance de sel dans les croustilles, le pop-corn et la tarte en pot hypnotise les papilles.

Malheureusement, trop de saveur peut ruiner une bonne chose. Entre les mains d'adultes branlants, l'excès de sel peut entraîner une pression artérielle élevée, des crises cardiaques et des accidents vasculaires cérébraux. Récemment, un législateur a annoncé une loi qui obligerait les citoyens et les résidents américains à réduire le sel qu'ils consomment. Et si la loi sur la réduction du sel était adoptée et que les Américains commençaient à consommer moins de minéraux?

Supposons que chaque année, les restaurants soient obligés de réduire les niveaux de sodium de 2,5% par an, à partir de 2017. Le déclin prévu des crises cardiaques peut être décrit par la fonction suivante:

y = 10 000 000 (1 - 0,10)^X

où "y" représente le nombre annuel de crises cardiaques après "x" ans.

Apparemment, la législation en vaut la peine. Les Américains seraient affligés de moins de coups. Voici des projections fictives de coups annuels en Amérique:

• 2016: 7 000 000 coups
• 2017: 6 650 000 coups
• 2018: 6 317 500 coups
• 2019: 6 001 625 coups

Quel est le pourcentage de diminution obligatoire de la consommation de sel dans les restaurants?

Réponse: 2,5%

Explication: Trois facteurs différents - les niveaux de sodium, les crises cardiaques et les accidents vasculaires cérébraux - devraient diminuer. Chaque année, les restaurants ont été mandatés pour réduire les niveaux de sodium de 2,5% par an, à partir de 2017.

Quel est le facteur de décroissance obligatoire pour la consommation de sel dans les restaurants?

Réponse: .975

Explication: facteur de décroissance:

(1 - b) = (1 - .025) = .975

D'après les prévisions, quelle serait la diminution en pourcentage des crises cardiaques annuelles?

Réponse: 10%

Explication: Le déclin prévu des crises cardiaques peut être décrit par la fonction suivante:

y = 10 000 000 (1 - .10) x

où "y" représente le nombre annuel de crises cardiaques après "x" ans.

D'après les prévisions, quel sera le facteur de décroissance des crises cardiaques annuelles?

Réponse: .90

Explication: facteur de décroissance:

(1 - b) = (1 - .10) = .90

Sur la base de ces projections fictives, quelle sera la diminution en pourcentage des accidents vasculaires cérébraux en Amérique?

Réponse: 5 pour cent

Explication:

UNE. Choisissez les données pour deux années consécutives: 2016: 7 000 000 coups; 2017: 6 650 000 coups

B. Utilisez cette formule: Pourcentage de diminution = (ancien - plus récent) / ancien

(7 000 000 - 6 650 000) / 7 000 000 = 0,05 ou 5%

C. Vérifiez la cohérence et choisissez les données pour un autre ensemble d'années consécutives: 2018: 6 317 500 coups; 2019: 6 001 625 coups

Pourcentage de diminution = (plus ancien - plus récent) / plus ancien

(6 317 500 - 6 001 625) / 6 001 625 environ 0,05 ou 5%

Sur la base de ces projections fictives, quel sera le facteur de désintégration des AVC en Amérique?

Réponse: .95

Explication: facteur de décroissance:

(1 - b) = (1 - .05) = .95

Édité par Anne Marie Helmenstine, Ph. D.