Il existe plusieurs propriétés mathématiques utilisées dans statistiques et probabilité; deux d'entre elles, les propriétés commutative et associative, sont généralement associées à l'arithmétique de base de entiers, rationnels et nombres réels, bien qu'ils apparaissent également dans les mathématiques plus avancées.
Ces propriétés - commutative et associative - sont très similaires et peuvent être facilement mélangées. Pour cette raison, il est important de comprendre la différence entre les deux.
La propriété commutative concerne l'ordre de certaines opérations mathématiques. Pour une opération binaire - qui ne comporte que deux éléments - cela peut être montré par l'équation a + b = b + a. L'opération est commutative car l'ordre des éléments n'affecte pas le résultat de l'opération. La propriété associative, quant à elle, concerne le regroupement d'éléments dans une opération. Cela peut être démontré par l'équation (a + b) + c = a + (b + c). Le regroupement des éléments, comme indiqué par les parenthèses, n'affecte pas le résultat de l'équation. Notez que lorsque la propriété commutative est utilisée, les éléments d'une équation sont
réarrangé. Lorsque la propriété associative est utilisée, les éléments sont simplement regroupé.Propriété commutative
En termes simples, la propriété commutative indique que les facteurs d'une équation peuvent être réarrangés librement sans affecter le résultat de l'équation. La propriété commutative concerne donc l'ordre des opérations, y compris l'addition et la multiplication des nombres réels, des nombres entiers et des nombres rationnels.
Par exemple, les nombres 2, 3 et 5 peuvent être additionnés dans n'importe quel ordre sans affecter le résultat final:
2 + 3 + 5 = 10
3 + 2 + 5 = 10
5 + 3 + 2 = 10
Les nombres peuvent également être multipliés dans n'importe quel ordre sans affecter le résultat final:
2 x 3 x 5 = 30
3 x 2 x 5 = 30
5 x 3 x 2 = 30
Cependant, la soustraction et la division ne sont pas des opérations pouvant être commutatives car l'ordre des opérations est important. Les trois chiffres ci-dessus ne peux pas, par exemple, être soustrait dans n'importe quel ordre sans affecter la valeur finale:
2 - 3 - 5 = -6
3 - 5 - 2 = -4
5 - 3 - 2 = 0
Par conséquent, la propriété commutative peut être exprimée par les équations a + b = b + a et a x b = b x a. Quel que soit l'ordre des valeurs dans ces équations, les résultats seront toujours les mêmes.
Propriété associative
La propriété associative indique que le regroupement de facteurs dans une opération peut être modifié sans affecter le résultat de l'équation. Cela peut être exprimé par l'équation a + (b + c) = (a + b) + c. Quelle que soit la paire de valeurs de l'équation ajoutée en premier, le résultat sera le même.
Par exemple, prenez l'équation 2 + 3 + 5. Peu importe la façon dont les valeurs sont regroupées, le résultat de l'équation sera 10:
(2 + 3) + 5 = (5) + 5 = 10
2 + (3 + 5) = 2 + (8) = 10
Comme pour la propriété commutative, des exemples d'opérations associatives incluent l'ajout et la multiplication de nombres réels, d'entiers et de nombres rationnels. Cependant, contrairement à la propriété commutative, la propriété associative peut également s'appliquer à la multiplication matricielle et à la composition des fonctions.
Comme les équations de propriété commutative, les équations de propriété associative ne peuvent pas contenir la soustraction de nombres réels. Prenons, par exemple, le problème arithmétique (6 - 3) - 2 = 3 - 2 = 1; si nous changeons le regroupement des parenthèses, nous avons 6 - (3 - 2) = 6 - 1 = 5, ce qui change le résultat final de l'équation.
Quelle est la différence?
Nous pouvons faire la différence entre la propriété associative et la propriété commutative en posant la question «Changeons-nous l'ordre de les éléments, ou changeons-nous le regroupement des éléments? » Si les éléments sont réorganisés, la propriété commutative s'applique. Si les éléments sont uniquement regroupés, alors la propriété associative s'applique.
Cependant, notez que la seule présence de parenthèses ne signifie pas nécessairement que la propriété associative s'applique. Par exemple:
(2 + 3) + 4 = 4 + (2 + 3)
Cette équation est un exemple de la propriété commutative d'addition de nombres réels. Si nous prêtons une attention particulière à l'équation, cependant, nous voyons que seul l'ordre des éléments a été changé, pas le regroupement. Pour que la propriété associative s'applique, il faudrait également réorganiser le regroupement des éléments:
(2 + 3) + 4 = (4 + 2) + 3