Test d'hypothèse avec tests t à un échantillon

Vous avez collecté vos données, vous avez votre modèle, vous avez exécuté votre régression et vous avez obtenu vos résultats. Maintenant, que faites-vous de vos résultats?

Dans cet article, nous considérons le modèle de la loi d'Okun et les résultats de l'article "Comment faire un projet d'économétrie sans douleur". Un échantillon de tests t sera introduit et utilisé afin de voir si la théorie correspond aux données.

La théorie derrière la loi d'Okun a été décrite dans l'article: "Instant Econometrics Project 1 - Okun's Law":

Loi d'Okun est une relation empirique entre la variation du taux de chômage et la croissance en pourcentage de la production réelle, telle que mesurée par le PNB. Arthur Okun a estimé la relation suivante entre les deux:

Oui_t = - 0,4 (X_t - 2.5 )

Cela peut également être exprimé comme une régression linéaire plus traditionnelle:

Oui_t = 1 - 0,4 X_t

Où:
Oui_t est la variation du taux de chômage en points de pourcentage.
X_t est le taux de croissance en pourcentage de la production réelle, mesuré par le PNB réel.

Donc, notre théorie est que les valeurs de nos paramètres sont B₁ = 1 pour le paramètre de pente et B₂ = -0.4 pour le paramètre d'interception.

Nous avons utilisé des données américaines pour voir dans quelle mesure les données correspondaient à la théorie. De "Comment faire un projet d'économétrie sans douleur"nous avons vu que nous devions estimer le modèle:

À l'aide de Microsoft Excel, nous avons calculé les paramètres b₁ et B₂. Maintenant, nous devons voir si ces paramètres correspondent à notre théorie, qui était que B₁ = 1 et B₂ = -0.4. Avant de pouvoir le faire, nous devons noter quelques chiffres qu'Excel nous a donnés. Si vous regardez la capture d'écran des résultats, vous remarquerez que les valeurs sont manquantes. C'était intentionnel, car je veux que vous calculiez vous-même les valeurs. Aux fins de cet article, je vais inventer quelques valeurs et vous montrer dans quelles cellules vous pouvez trouver les vraies valeurs. Avant de commencer notre test d'hypothèse, nous devons noter les valeurs suivantes:

• Nombre d'observations (cellule B8) Obs = 219

• Coefficient (cellule B17) b₁ = 0.47 (apparaît sur le graphique comme "AAA")
  Erreur standard (cellule C17) se₁ = 0.23 (apparaît sur le graphique comme "CCC")
  t Stat (cellule D17) t₁ = 2.0435 (apparaît sur le graphique sous la forme "x")
  Valeur P (cellule E17) p₁ = 0.0422 (apparaît sur le graphique sous la forme "x")

• Coefficient (cellule B18) b₂ = - 0.31 (apparaît sur le graphique comme "BBB")
  Erreur standard (cellule C18) se₂ = 0.03 (apparaît sur le graphique comme "DDD")
  t Stat (cellule D18) t₂ = 10.333 (apparaît sur le graphique sous la forme "x")
  Valeur P (cellule E18) p₂ = 0.0001 (apparaît sur le graphique sous la forme "x")

Dans la section suivante, nous examinerons les tests d'hypothèses et nous verrons si nos données correspondent à notre théorie.

N'oubliez pas de passer à la page 2 de «Test d'hypothèse à l'aide de tests t à un échantillon».

Commençons par considérer notre hypothèse selon laquelle la variable d'interception est égale à un. L'idée sous-jacente est assez bien expliquée dans le Les bases de l'économétrie. À la page 105, le gujarati décrit les tests d'hypothèse:

• «[S] posons nous émettre des hypothèses que le vrai B₁ prend une valeur numérique particulière, par exemple, B₁ = 1. Notre tâche consiste maintenant à «tester» cette hypothèse. » Langue d'hypothèse testant une hypothèse telle que B₁ = 1 est appelé le hypothèse nulle et est généralement désigné par le symbole H₀. Donc H₀: B₁ = 1. L'hypothèse nulle est généralement testée contre un hypothèse alternative, désigné par le symbole H₁. L'hypothèse alternative peut prendre trois formes:
  H₁: B₁ > 1, qui est appelé unilatéral hypothèse alternative, ou
  H₁: B₁ < 1, aussi un unilatéral hypothèse alternative, ou
  H₁: B₁ différent de 1, qui est appelé bilatéral hypothèse alternative. C'est-à-dire que la vraie valeur est supérieure ou inférieure à 1. »

Dans ce qui précède, j'ai substitué dans notre hypothèse le gujarati pour le rendre plus facile à suivre. Dans notre cas, nous voulons une hypothèse alternative à deux faces, car nous voulons savoir si B₁ est égal à 1 ou différent de 1.

La première chose que nous devons faire pour tester notre hypothèse est de calculer à la statistique t-Test. La théorie derrière la statistique dépasse le cadre de cet article. Essentiellement, ce que nous faisons est de calculer une statistique qui peut être testée par rapport à une distribution t pour déterminer dans quelle mesure il est probable que la vraie valeur du coefficient est égale à une hypothèse valeur. Quand notre hypothèse est B₁ = 1 nous désignons notre statistique t comme t₁(B₁=1) et il peut être calculé par la formule:

t₁(B₁= 1) = (b₁ - B₁ / se₁)

Essayons ceci pour nos données d'interception. Rappelons que nous avions les données suivantes:

• b₁ = 0.47
  se₁ = 0.23

Notre statistique t pour l'hypothèse que B₁ = 1 est simplement:

t₁(B₁=1) = (0.47 – 1) / 0.23 = 2.0435

Donc t₁(B₁=1) est 2.0435. Nous pouvons également calculer notre test t pour l'hypothèse que la variable de pente est égale à -0,4:

• b₂ = -0.31
  se₂ = 0.03

Notre statistique t pour l'hypothèse que B₂ = -0.4 est simplement:

t₂(B₂= -0.4) = ((-0.31) – (-0.4)) / 0.23 = 3.0000

Donc t₂(B₂= -0.4) est 3.0000. Ensuite, nous devons les convertir en valeurs p. La valeur p "peut être définie comme niveau de signification le plus bas à laquelle une hypothèse nulle peut être rejetée... En règle générale, plus la valeur p est petite, plus les preuves contre l'hypothèse nulle sont fortes. "(Gujarati, 113) règle générale standard, si la valeur de p est inférieure à 0,05, nous rejetons l'hypothèse nulle et acceptons l'alternative hypothèse. Cela signifie que si la valeur de p associée au test t₁(B₁=1) est inférieure à 0,05, nous rejetons l'hypothèse selon laquelle B₁=1 et accepter l'hypothèse que B₁ différent de 1. Si la valeur de p associée est égale ou supérieure à 0,05, nous faisons exactement le contraire, c'est-à-dire que nous acceptons l'hypothèse nulle que B₁=1.

Malheureusement, vous ne pouvez pas calculer la valeur p. Pour obtenir une valeur de p, vous devez généralement la rechercher dans un graphique. La plupart des livres de statistiques et d'économétrie standard contiennent un graphique de valeur p à l'arrière du livre. Heureusement avec l'avènement d'Internet, il existe un moyen beaucoup plus simple d'obtenir des valeurs p. Le site Graphcal Quickcalcs: un échantillon de test t vous permet d'obtenir rapidement et facilement des valeurs de p. En utilisant ce site, voici comment obtenir une valeur de p pour chaque test.

Étapes nécessaires pour estimer une valeur de p pour B₁=1

• Cliquez sur la case radio contenant "Entrez la moyenne, SEM et N." La moyenne est la valeur du paramètre que nous avons estimée, SEM est l'erreur standard et N est le nombre d'observations.
• Entrer 0.47 dans la case intitulée «Mean:».
• Entrer 0.23 dans la case intitulée «SEM:»
• Entrer 219 dans la case intitulée «N:», car il s'agit du nombre d'observations que nous avons eues.
• Sous "3. Spécifiez la valeur moyenne hypothétique "cliquez sur le bouton radio à côté de la case vide. Dans cette case, entrez 1, car telle est notre hypothèse.
• Cliquez sur «Calculer maintenant»

Vous devriez obtenir une page de sortie. En haut de la page de sortie, vous devriez voir les informations suivantes:

• Valeur P et signification statistique:
  La valeur P bilatérale est égale à 0,0221
  Selon les critères conventionnels, cette différence est considérée comme statistiquement significative.

Notre valeur de p est donc 0,0221, ce qui est inférieur à 0,05. Dans ce cas, nous rejetons notre hypothèse nulle et acceptons notre hypothèse alternative. Selon nos mots, pour ce paramètre, notre théorie ne correspondait pas aux données.

N'oubliez pas de passer à la page 3 de «Test d'hypothèse à l'aide de tests t à un échantillon».

Encore une fois en utilisant le site Graphcal Quickcalcs: un échantillon de test t nous pouvons rapidement obtenir la valeur de p pour notre deuxième test d'hypothèse:

Étapes nécessaires pour estimer un valeur p pour B₂= -0.4

• Cliquez sur la case radio contenant «Entrez la moyenne, SEM et N.» La moyenne est la valeur du paramètre que nous avons estimée, SEM est l'erreur standard et N est le nombre d'observations.
• Entrer -0.31 dans la case intitulée «Mean:».
• Entrer 0.03 dans la case intitulée «SEM:»
• Entrer 219 dans la case intitulée «N:», car il s'agit du nombre d'observations que nous avons eues.
• Sous «3. Spécifiez la valeur moyenne hypothétique »cliquez sur le bouton radio à côté de la case vide. Dans cette case, entrez -0.4, car telle est notre hypothèse.
• Cliquez sur «Calculer maintenant»

• Valeur P et signification statistique: La valeur P bilatérale est égale à 0,0030
  Selon les critères conventionnels, cette différence est considérée comme statistiquement significative.

Nous avons utilisé des données américaines pour estimer le modèle de la loi d'Okun. En utilisant ces données, nous avons constaté que les paramètres d'interception et de pente sont statistiquement significativement différents de ceux de la loi d'Okun. Par conséquent, nous pouvons conclure qu'aux États-Unis, la loi d'Okun ne tient pas.

Maintenant que vous avez vu comment calculer et utiliser des tests t à un échantillon, vous pourrez interpréter les nombres que vous avez calculés dans votre régression.

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