Si vous demandez à quelqu'un de nommer sa constante mathématique préférée, vous obtiendrez probablement des regards interrogatifs. Après un moment, quelqu'un peut proposer que la meilleure constante est pi. Mais ce n'est pas la seule constante mathématique importante. Une seconde proche, sinon prétendant à la couronne de constante la plus omniprésente est e. Ce nombre apparaît dans le calcul, la théorie des nombres, la probabilité et statistiques. Nous examinerons certaines des caractéristiques de ce nombre remarquable et verrons quels liens il a avec les statistiques et les probabilités.
Valeur de e
Comme pi, e est un irrationnel nombre réel. Cela signifie qu'il ne peut pas être écrit sous forme de fraction et que son expansion décimale se poursuit indéfiniment sans bloc de chiffres répétitif qui se répète continuellement. Le nombre e est également transcendantal, ce qui signifie qu'il n'est pas la racine d'un polynôme non nul à coefficients rationnels. Les cinquante premières décimales de sont données par e = 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995.
Définition de e
Le nombre e a été découvert par des personnes curieuses de l'intérêt composé. Dans cette forme d'intérêt, le principal gagne des intérêts, puis les intérêts générés gagnent des intérêts sur lui-même. Il a été observé que plus la fréquence des périodes de composition par an est élevée, plus le montant des intérêts générés est élevé. Par exemple, nous pourrions examiner l'intérêt accru:
- Annuellement ou une fois par an
- Semestriellement ou deux fois par an
- Mensuellement, ou 12 fois par an
- Tous les jours ou 365 fois par an
Le montant total des intérêts augmente pour chacun de ces cas.
Une question s'est posée de savoir combien d'argent pouvait éventuellement être gagné en intérêts. Pour tenter de gagner encore plus d'argent, nous pourrions, en théorie, augmenter le nombre de périodes de composition à un nombre aussi élevé que nous le voulions. Le résultat final de cette augmentation est que nous considérerions que l'intérêt est continuellement composé.
Bien que l'intérêt généré augmente, il le fait très lentement. Le montant total d'argent dans le compte se stabilise et la valeur à laquelle il se stabilise est e. Pour exprimer cela en utilisant une formule mathématique, nous disons que la limite n augmentations de (1 + 1 /n)n = e.
Utilisations de e
Le nombre e apparaît à travers les mathématiques. Voici quelques-uns des endroits où il fait son apparition:
- C'est la base du logarithme naturel. Depuis que Napier a inventé les logarithmes, e est parfois appelé la constante de Napier.
- Dans le calcul, la fonction exponentielle eX a la propriété unique d'être son propre dérivé.
- Expressions impliquant eX et e-X se combinent pour former les fonctions sinus hyperbolique et cosinus hyperbolique.
- Grâce au travail d'Euler, nous savons que les constantes fondamentales des mathématiques sont liées entre elles par la formule eiΠ + 1 = 0, où je est le nombre imaginaire qui est la racine carrée du négatif.
- Le nombre e apparaît dans diverses formules à travers les mathématiques, en particulier le domaine de la théorie des nombres.
La valeur e en statistiques
L'importance du nombre e ne se limite pas à quelques domaines des mathématiques. Il existe également plusieurs utilisations du nombre e en statistiques et probabilités. En voici quelques-uns:
- Le nombre e fait une apparition dans le formule pour la fonction gamma.
- Les formules pour le distribution normale standard implique e à une puissance négative. Cette formule comprend également pi.
- De nombreuses autres distributions impliquent l'utilisation du nombre e. Par exemple, les formules pour la distribution t, la distribution gamma et la distribution khi carré contiennent toutes le nombre e.