Commun paramètres pour distribution de probabilité inclure la moyenne et l'écart type. La moyenne donne une mesure du centre et l'écart type indique l'étalement de la distribution. En plus de ces paramètres bien connus, il y en a d'autres qui attirent l'attention sur des caractéristiques autres que la propagation ou le centre. L'une de ces mesures est celle de asymétrie. L'asymétrie permet d'attacher une valeur numérique à l'asymétrie d'une distribution.
Une distribution importante que nous examinerons est la distribution exponentielle. Nous verrons comment prouver que l'asymétrie d'une distribution exponentielle est 2.
Fonction de densité de probabilité exponentielle
Nous commençons par énoncer la fonction de densité de probabilité pour une distribution exponentielle. Ces distributions ont chacune un paramètre, qui est lié au paramètre de la Processus de Poisson. Nous désignons cette distribution par Exp (A), où A est le paramètre. La fonction de densité de probabilité pour cette distribution est:
F(X) = e-X/UNE/ A, où X est non négatif.
Ici e est la mathématique constant e cela représente environ 2,718281828. La moyenne et l'écart type de la distribution exponentielle Exp (A) sont tous deux liés au paramètre A. En fait, la moyenne et l'écart type sont tous deux égaux à A.
Définition de l'asymétrie
L'asymétrie est définie par une expression liée au troisième moment de la moyenne. Cette expression est la valeur attendue:
E [(X - μ)3/σ3] = (E [X3] - 3 μE [X2] + 3μ2E [X] - μ3)/σ3 = (E [X3] – 3μ(σ2 – μ3)/σ3.
Nous remplaçons μ et σ par A, et le résultat est que l'asymétrie est E [X3] / UNE3 – 4.
Il ne reste plus qu'à calculer le troisième moment sur l'origine. Pour cela, nous devons intégrer les éléments suivants:
∫∞0X3F(X) réX.
Cette intégrale a une infinité pour l'une de ses limites. Ainsi, il peut être évalué comme une intégrale impropre de type I. Nous devons également déterminer quelle technique d'intégration utiliser. Puisque la fonction à intégrer est le produit d'une fonction polynomiale et exponentielle, nous aurions besoin d'utiliser intégration par pièces. Cette technique d'intégration est appliquée plusieurs fois. Le résultat final est que:
EX3] = 6A3
Nous combinons ensuite cela avec notre équation précédente pour l'asymétrie. Nous voyons que l'asymétrie est 6 - 4 = 2.
Implications
Il est important de noter que le résultat est indépendant de la distribution exponentielle spécifique avec laquelle nous commençons. L'asymétrie de la distribution exponentielle ne dépend pas de la valeur du paramètre A.
De plus, nous constatons que le résultat est une asymétrie positive. Cela signifie que la distribution est asymétrique vers la droite. Cela ne devrait pas surprendre lorsque nous pensons à la forme du graphique de la fonction de densité de probabilité. Toutes ces distributions ont une ordonnée à l'origine comme 1 // thêta et une queue qui va à l'extrême droite du graphique, correspondant à des valeurs élevées de la variable X.
Calcul alternatif
Bien sûr, nous devons également mentionner qu'il existe une autre façon de calculer l'asymétrie. Nous pouvons utiliser la fonction de génération de moment pour la distribution exponentielle. La dérivée première du fonction de génération de moment évalué à 0 nous donne E [X]. De même, la troisième dérivée de la fonction de génération de moment lorsqu'elle est évaluée à 0 nous donne E (X3].