Cinématique bidimensionnelle: mouvement dans un plan

Cet article décrit les concepts fondamentaux nécessaires pour analyser le mouvement des objets en deux dimensions, sans tenir compte des forces qui provoquent l'accélération impliquée. Un exemple de ce type de problème serait de lancer une balle ou de tirer un boulet de canon. Il suppose une familiarité avec cinématique unidimensionnelle, car il développe les mêmes concepts dans un espace vectoriel à deux dimensions.

La cinématique implique le déplacement, la vitesse et l'accélération qui sont tous quantités vectorielles qui nécessitent à la fois une ampleur et une direction. Par conséquent, pour commencer un problème de cinématique bidimensionnelle, vous devez d'abord définir le système de coordonnées vous utilisez. Généralement, ce sera en termes de X-axis et un y-axis, orienté de manière à ce que le mouvement soit dans le sens positif, bien qu'il puisse y avoir des circonstances où ce n'est pas la meilleure méthode.

Dans les cas où la gravité est envisagée, il est habituel de faire le sens de la gravité dans le négatif-

Le vecteur de position r est un vecteur qui va de l'origine du système de coordonnées à un point donné du système. Le changement de position (Δr, prononcé "Delta r") est la différence entre le point de départ (r₁) au point de terminaison (r₂). Nous définissons le vitesse moyenne (v_{un V}) comme:

v_{un V} = (r₂ - r₁) / (t₂ - t₁) = Δr/Δt

Prendre la limite comme Δt approche 0, nous atteignons le vélocité instantanéev. En termes de calcul, c'est la dérivée de r par rapport à t, ou rér/dt.

À mesure que la différence de temps diminue, les points de début et de fin se rapprochent. Depuis la direction de r est la même direction que v, il devient clair que le vecteur vitesse instantané en tout point du trajet est tangent au trajet.

Le trait utile des quantités vectorielles est qu'elles peuvent être décomposées en leurs vecteurs composants. La dérivée d'un vecteur est la somme de ses dérivées composantes, donc:

v_X = dx/dt
v_y = teindre/dt

La magnitude du vecteur vitesse est donnée par le théorème de Pythagore sous la forme:

|v| = v = sqrt (v_X² + v_y²)

La direction de v est orienté alpha degrés dans le sens antihoraire de la X-composant, et peut être calculé à partir de l'équation suivante:

bronzer alpha = v_y / v_X

Accélération est le changement de vitesse sur une période de temps donnée. Semblable à l'analyse ci-dessus, nous constatons que c'est Δv/Δt. La limite de ceci comme Δt approche 0 donne la dérivée de v par rapport à t.

En termes de composants, le vecteur d'accélération peut s'écrire:

une_X = dv_X/dt
une_y = dv_y/dt

ou

une_X = ré²X/dt²
une_y = ré²y/dt²

La magnitude et l'angle (désignés par bêta distinguer de alpha) du vecteur d'accélération nette sont calculés avec des composants similaires à ceux de la vitesse.

Souvent, la cinématique bidimensionnelle implique de briser les vecteurs pertinents en leur X- et y-composants, puis en analysant chacun des composants comme s'il s'agissait de cas unidimensionnels. Une fois cette analyse terminée, les composantes de la vitesse et / ou de l'accélération sont ensuite combinées pour obtenir les vecteurs de vitesse et / ou d'accélération bidimensionnels résultants.

Les équations ci-dessus peuvent toutes être développées pour le mouvement en trois dimensions en ajoutant un z-composant à l'analyse. Ceci est généralement assez intuitif, mais il faut veiller à ce que cela soit fait dans le format approprié, en particulier en ce qui concerne le calcul de l'angle d'orientation du vecteur.

Édité par Anne Marie Helmenstine, Ph. D.