Propriétés mathématiques des ondes

Ondes physiques, ou ondes mécaniques, se forment par la vibration d'un médium, qu'il s'agisse d'une chaîne, de la croûte terrestre ou de particules de gaz et de fluides. Les vagues ont des propriétés mathématiques qui peuvent être analysées pour comprendre le mouvement de l'onde. Cet article présente ces propriétés générales des ondes, plutôt que la façon de les appliquer dans des situations spécifiques en physique.

Il existe deux types d'ondes mécaniques.

A est tel que les déplacements du milieu sont perpendiculaires (transversaux) à la direction de déplacement de l'onde le long du milieu. Faire vibrer une corde en mouvement périodique, de sorte que les vagues se déplacent le long de celle-ci, est une vague transversale, tout comme les vagues de l'océan.

UNE onde longitudinale est telle que les déplacements du milieu se font dans les deux sens dans la même direction que l'onde elle-même. Les ondes sonores, où les particules d'air sont poussées dans le sens de la marche, sont un exemple d'une onde longitudinale.

Même si les ondes discutées dans cet article feront référence à un voyage dans un milieu, les mathématiques présentées ici peuvent être utilisées pour analyser les propriétés des ondes non mécaniques. Le rayonnement électromagnétique, par exemple, est capable de voyager à travers l'espace vide, mais a toujours les mêmes propriétés mathématiques que les autres ondes. Par exemple, le Effet Doppler pour les ondes sonores est bien connu, mais il existe un Effet Doppler pour les ondes lumineuses, et ils sont basés sur les mêmes principes mathématiques.

1. Les vagues peuvent être considérées comme une perturbation du milieu autour d'un état d'équilibre, qui est généralement au repos. L'énergie de cette perturbation est à l'origine du mouvement des vagues. Une mare d'eau est à l'équilibre lorsqu'il n'y a pas de vagues, mais dès qu'une pierre y est jetée, l'équilibre des particules est perturbé et le mouvement des vagues commence.
2. La perturbation de l'onde se déplace, ou propogate, avec une vitesse définie, appelée vitesse des vagues (v).
3. Les vagues transportent de l'énergie, mais peu importe. Le médium lui-même ne voyage pas; les particules individuelles subissent un mouvement de va-et-vient ou de haut en bas autour de la position d'équilibre.

Pour décrire mathématiquement le mouvement des vagues, nous nous référons au concept d'un fonction d'onde, qui décrit à tout moment la position d'une particule dans le milieu. La plus fondamentale des fonctions d'onde est l'onde sinusoïdale, ou onde sinusoïdale, qui est un onde périodique (c'est-à-dire une vague avec un mouvement répétitif).

Il est important de noter que la fonction d'onde ne représente pas l'onde physique, mais plutôt un graphique du déplacement autour de la position d'équilibre. Cela peut être un concept déroutant, mais la chose utile est que nous pouvons utiliser une onde sinusoïdale pour représenter la plupart des périodiques mouvements, tels que se déplacer dans un cercle ou balancer un pendule, qui ne ressemblent pas nécessairement à des vagues lorsque vous mouvement.

• vitesse des vagues (v) - la vitesse de propagation de l'onde
• amplitude (UNE) - l'amplitude maximale du déplacement par rapport à l'équilibre, en unités SI de mètres. En général, il s'agit de la distance entre le milieu d'équilibre de l'onde et son déplacement maximal, ou c'est la moitié du déplacement total de l'onde.
• période (T) - est le temps pour un cycle d'onde (deux impulsions, ou de crête à crête ou creux à creux), en unités SI de secondes (bien qu'il puisse être appelé "secondes par cycle").
• la fréquence (F) - le nombre de cycles dans une unité de temps. L'unité de fréquence SI est le hertz (Hz) et

  1 Hz = 1 cycle / s = 1 s^-1

• fréquence angulaire (ω) - est 2π fois la fréquence, en unités SI de radians par seconde.
• longueur d'onde (λ) - la distance entre deux points quelconques à des positions correspondantes sur des répétitions successives dans la vague, donc (par exemple) d'une crête ou d'un creux à l'autre, en Unités SI de mètres.
• numéro d'onde (k) - également appelé constante de propagation, cette quantité utile est définie comme 2 π divisé par la longueur d'onde, les unités SI sont donc des radians par mètre.
• impulsion - une demi-longueur d'onde, depuis l'équilibre vers l'arrière

Voici quelques équations utiles pour définir les quantités ci-dessus:

v = λ / T = λ f

ω = 2 π f = 2 π/T

T = 1 / F = 2 π/ω

k = 2π/ω

ω = vk

La position verticale d'un point sur la vague, y, peut être trouvée en fonction de la position horizontale, Xet le temps, t, quand on le regarde. Nous remercions les mathématiciens aimables d'avoir fait ce travail pour nous et obtenons les équations utiles suivantes pour décrire le mouvement des vagues:

y(x, t) = UNE péché ω(t - X/v) = UNE péché 2π f(t - X/v)

y(x, t) = UNE péché 2π(t/T - X/v)

y (x, t) = UNE péché (ω t - kx)

Une dernière caractéristique de la fonction d'onde est que l'application calcul de prendre la dérivée seconde donne la équation d'onde, qui est un produit intrigant et parfois utile (dont, une fois encore, nous remercierons les mathématiciens et l'accepterons sans le prouver):

ré²y / dx² = (1 / v²) ré²y / dt²

La dérivée seconde de y par rapport à X est équivalent à la dérivée seconde de y par rapport à t divisé par la vitesse des vagues au carré. L'utilité clé de cette équation est que chaque fois qu'il se produit, nous savons que la fonction y agit comme une vague avec une vitesse de vague v et donc, la situation peut être décrite à l'aide de la fonction d'onde.