Probabilités de lancer trois dés

Les dés fournissent de grandes illustrations pour concepts de probabilité. Les dés les plus couramment utilisés sont des cubes à six faces. Ici, nous verrons comment calculer les probabilités de lancer trois dés standard. C'est un problème relativement standard de calculer la probabilité de la somme obtenue par lancer deux dés. Il y a un total de 36 jets différents avec deux dés, avec une somme de 2 à 12 possible.Comment le problème change-t-il si nous ajoutons plus de dés?

Tout comme un dé a six résultats et deux dés 6² = 36 résultats, l'expérience de probabilité de lancer trois dés a 6³ = 216 résultats. Cette idée se généralise davantage pour plus de dés. Si nous roulons n dés alors il y a 6ⁿ résultats.

Nous pouvons également considérer les sommes possibles en lançant plusieurs dés. La plus petite somme possible se produit lorsque tous les dés sont les plus petits, ou un chacun. Cela donne une somme de trois lorsque nous lançons trois dés. Le plus grand nombre sur un dé est de six, ce qui signifie que la plus grande somme possible se produit lorsque les trois dés sont six. La somme de cette situation est de 18.

Quand n sont lancés, la somme la plus faible possible est n et la plus grande somme possible est 6n.

• Il y a une façon possible que trois dés totalisent 3
• 3 façons pour 4
• 6 pour 5
• 10 pour 6
• 15 pour 7
• 21 pour 8
• 25 pour 9
• 27 pour 10
• 27 pour 11
• 25 pour 12
• 21 pour 13
• 15 pour 14
• 10 pour 15
• 6 pour 16
• 3 pour 17
• 1 pour 18

Comme discuté ci-dessus, pour trois dés, les sommes possibles incluent chaque nombre de trois à 18. Les probabilités peuvent être calculées en utilisant stratégies de comptage et reconnaissant que nous recherchons des moyens de partitionner un nombre en exactement trois nombres entiers. Par exemple, la seule façon d'obtenir une somme de trois est 3 = 1 + 1 + 1. Chaque dé étant indépendant des autres, une somme telle que quatre peut être obtenue de trois manières différentes:

• 1 + 1 + 2
• 1 + 2 + 1
• 2 + 1 + 1

D'autres arguments de comptage peuvent être utilisés pour trouver le nombre de façons de former les autres sommes. Les partitions pour chaque somme suivent:

• 3 = 1 + 1 + 1
• 4 = 1 + 1 + 2
• 5 = 1 + 1 + 3 = 2 + 2 + 1
• 6 = 1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 2 + 2 + 2
• 7 = 1 + 1 + 5 = 2 + 2 + 3 = 3 + 3 + 1 = 1 + 2 + 4
• 8 = 1 + 1 + 6 = 2 + 3 + 3 = 4 + 3 + 1 = 1 + 2 + 5 = 2 + 2 + 4
• 9 = 6 + 2 + 1 = 4 + 3 + 2 = 3 + 3 + 3 = 2 + 2 + 5 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4
• 10 = 6 + 3 + 1 = 6 + 2 + 2 = 5 + 3 + 2 = 4 + 4 + 2 = 4 + 3 + 3 = 1 + 4 + 5
• 11 = 6 + 4 + 1 = 1 + 5 + 5 = 5 + 4 + 2 = 3 + 3 + 5 = 4 + 3 + 4 = 6 + 3 + 2
• 12 = 6 + 5 + 1 = 4 + 3 + 5 = 4 + 4 + 4 = 5 + 2 + 5 = 6 + 4 + 2 = 6 + 3 + 3
• 13 = 6 + 6 + 1 = 5 + 4 + 4 = 3 + 4 + 6 = 6 + 5 + 2 = 5 + 5 + 3
• 14 = 6 + 6 + 2 = 5 + 5 + 4 = 4 + 4 + 6 = 6 + 5 + 3
• 15 = 6 + 6 + 3 = 6 + 5 + 4 = 5 + 5 + 5
• 16 = 6 + 6 + 4 = 5 + 5 + 6
• 17 = 6 + 6 + 5
• 18 = 6 + 6 + 6

Lorsque trois nombres différents forment la partition, tels que 7 = 1 + 2 + 4, il y en a 3! (3x2x1) différentes façons de permutation ces chiffres. Donc, cela compterait pour trois résultats dans l'espace échantillon. Lorsque deux nombres différents forment la partition, il existe trois façons différentes de permuter ces nombres.

Nous divisons le nombre total de façons d'obtenir chaque somme par le nombre total de résultats dans le espace d'échantillonou 216. Les résultats sont:

• Probabilité d'une somme de 3: 1/216 = 0,5%
• Probabilité d'une somme de 4: 3/216 = 1,4%
• Probabilité d'une somme de 5: 6/216 = 2,8%
• Probabilité d'une somme de 6: 10/216 = 4,6%
• Probabilité d'une somme de 7: 15/216 = 7,0%
• Probabilité d'une somme de 8: 21/216 = 9,7%
• Probabilité d'une somme de 9: 25/216 = 11,6%
• Probabilité d'une somme de 10: 27/216 = 12,5%
• Probabilité d'une somme de 11: 27/216 = 12,5%
• Probabilité d'une somme de 12: 25/216 = 11,6%
• Probabilité d'une somme de 13: 21/216 = 9,7%
• Probabilité d'une somme de 14: 15/216 = 7,0%
• Probabilité d'une somme de 15: 10/216 = 4,6%
• Probabilité d'une somme de 16: 6/216 = 2,8%
• Probabilité d'une somme de 17: 3/216 = 1,4%
• Probabilité d'une somme de 18: 1/216 = 0,5%

Comme on peut le voir, les valeurs extrêmes de 3 et 18 sont les moins probables. Les sommes qui sont exactement au milieu sont les plus probables. Cela correspond à ce qui a été observé lorsque deux dés ont été lancés.