Distributions binomiales sont une classe importante de discrets distributions de probabilité. Ces types de distributions sont une série de n essais de Bernoulli indépendants, dont chacun a une probabilité constante p de succès. Comme pour toute distribution de probabilité, nous aimerions savoir quelle est sa moyenne ou son centre. Pour cela, nous demandons vraiment: «Quel est le valeur attendue de la distribution binomiale? "
Intuition vs. Preuve
Si nous réfléchissons soigneusement à un distribution binomiale, il n'est pas difficile de déterminer que les valeur de ce type de distribution de probabilité est np. Pour quelques exemples rapides de ceci, considérez ce qui suit:
- Si nous jetons 100 pièces, et X est le nombre de têtes, la valeur attendue de X est 50 = (1/2) 100.
- Si nous faisons un test à choix multiple avec 20 questions et que chaque question a quatre choix (un seul parmi ce qui est correct), alors deviner au hasard signifierait que nous ne nous attendrions à obtenir (1/4) 20 = 5 questions correct.
Dans ces deux exemples, nous voyons que E [X] = n p. Deux cas suffisent à peine pour parvenir à une conclusion. Bien que l'intuition soit un bon outil pour nous guider, il ne suffit pas de former un argument mathématique et de prouver que quelque chose est vrai. Comment prouver définitivement que la valeur attendue de cette distribution est bien np?
D'après la définition de la valeur attendue et la fonction de masse de probabilité pour distribution binomiale de n essais de probabilité de succès p, nous pouvons démontrer que notre intuition correspond aux fruits de la rigueur mathématique. Nous devons être quelque peu prudents dans notre travail et agiles dans nos manipulations du coefficient binomial qui est donné par la formule des combinaisons.
Nous commençons par utiliser la formule:
E [X] = Σ x = 0n x C (n, x) pX(1-p)n - x.
Étant donné que chaque terme de la somme est multiplié par X, la valeur du terme correspondant à x = 0 sera 0, et donc nous pouvons réellement écrire:
E [X] = Σ x = 1n x C (n, x) p X (1 - p) n - x .
En manipulant les factorielles impliquées dans l'expression de C (n, x) on peut réécrire
x C (n, x) = n C (n - 1, x - 1).
Cela est vrai parce que:
x C (n, x) = xn! / (x! (n - x)!) = n! / ((x - 1)! (n - x)!) = n (n - 1)! / (( x - 1)! ((n - 1) - (x - 1))!) = n C (n - 1, x - 1).
Il s'ensuit que:
E [X] = Σ x = 1n n C (n - 1, x - 1) p X (1 - p) n - x .
Nous prenons en compte n et une p à partir de l'expression ci-dessus:
E [X] = np Σ x = 1n C (n - 1, x - 1) p x - 1 (1 - p) (n - 1) - (x - 1) .
Un changement de variables r = x - 1 nous donne:
E [X] = np Σ r = 0n - 1 C (n - 1, r) p r (1 - p) (n - 1) - r .
Par la formule binomiale, (x + y)k = Σ r = 0 kC (k, r) xr yk - r la sommation ci-dessus peut être réécrite:
E [X] = (np) (p + (1 - p))n - 1 = np.
L'argument ci-dessus nous a fait beaucoup de chemin. En commençant seulement par la définition de la valeur attendue et de la fonction de masse de probabilité pour une distribution binomiale, nous avons prouvé ce que notre intuition nous a dit. La valeur attendue du distribution binomialeB (n, p) est n p.