Comment trouver la valeur de départ d'une fonction exponentielle

Les fonctions exponentielles racontent les histoires de changements explosifs. Les deux types de fonctions exponentielles sont croissance exponentielle et décroissance exponentielle. Quatre variables - variation en pourcentage, temps, quantité au début de la période et quantité à la fin de la période - jouent un rôle dans les fonctions exponentielles. Cet article explique comment trouver le montant au début de la période, une.

Croissance exponentielle: le changement qui se produit lorsqu'un montant d'origine est augmenté d'un taux constant sur une période de temps

Croissance exponentielle dans la vraie vie:

• Valeurs des prix des maisons
• Valeurs des investissements
• Augmentation de l'adhésion à un site de réseautage social populaire

Voici une fonction de croissance exponentielle:

y = une(1 + b)^X

• y: Montant final restant sur une période de temps
• une: Le montant d'origine
• X: Temps
• le facteur de croissance est (1 + b).
• La variable, b, est la variation en pourcentage sous forme décimale.

Décroissance exponentielle: le changement qui se produit quand une quantité originale est réduite d'un taux constant sur une période de temps

Décroissance exponentielle dans la vraie vie:

• Déclin du lectorat des journaux
• Déclin des AVC aux États-Unis
• Nombre de personnes restant dans une ville frappée par un ouragan

Voici une fonction de décroissance exponentielle:

y = une(1-b)^X

• y: Montant final restant après la décroissance sur une période de temps
• une: Le montant d'origine
• X: Temps
• le facteur de décroissance est (1-b).
• La variable, b, est le pourcentage de diminution sous forme décimale.

Dans six ans, vous voudrez peut-être poursuivre des études de premier cycle à la Dream University. Avec un prix de 120 000 $, Dream University évoque les terreurs financières nocturnes. Après des nuits blanches, vous, maman et papa rencontrez un planificateur financier. Les yeux injectés de sang de vos parents s'éclaircissent lorsque le planificateur révèle un investissement avec un taux de croissance de 8% qui peut aider votre famille à atteindre l'objectif de 120 000 $. Étudiez dur. Si vous et vos parents investissez 75 620,36 $ aujourd'hui, Dream University deviendra votre réalité.

Cette fonction décrit la croissance exponentielle de l'investissement:

120,000 = une(1 +.08)⁶

• 120 000: Montant final restant après 6 ans
• .08: Taux de croissance annuel
• 6: Le nombre d'années pour que l'investissement croisse
• une: Le montant initial que votre famille a investi

Allusion: Grâce à la propriété symétrique d'égalité, 120 000 = une(1 +.08)⁶ est le même que une(1 +.08)⁶ = 120,000. (Propriété d'égalité symétrique: si 10 + 5 = 15, alors 15 = 10 +5.)

Si vous préférez réécrire l'équation avec la constante 120 000 à droite de l'équation, faites-le.

une(1 +.08)⁶ = 120,000

Certes, l'équation ne ressemble pas à une équation linéaire (6une = 120 000 $), mais il est résoluble. Restez avec lui!

une(1 +.08)⁶ = 120,000

Attention: ne résolvez pas cette équation exponentielle en divisant 120 000 par 6. C'est un math tentant non-non.

1. Utilisation Ordre des opérations pour simplifier.

une(1 +.08)⁶ = 120,000

une(1.08)⁶ = 120 000 (parenthèses)

une(1.586874323) = 120 000 (exposant)

2. Résoudre en divisant

une(1.586874323) = 120,000

une(1.586874323)/(1.586874323) = 120,000/(1.586874323)

1une = 75,620.35523

une = 75,620.35523

Le montant initial, ou le montant que votre famille devrait investir, est d'environ 75 620,36 $.

3. Gel - vous n'avez pas encore fini. Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.

120,000 = une(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1 +.08)⁶

120,000 = 75,620.35523(1.08)⁶ (Parenthèse)

120.000 = 75.620.35523 (1.586874323) (exposant)

120 000 = 120 000 (multiplication)

Voici des exemples de résolution pour le montant d'origine, compte tenu de la fonction exponentielle:

1. 84 = une(1+.31)⁷
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   84 = une(1.31)⁷ (Parenthèse)
   84 = une(6.620626219) (Exposant)
   Divisez pour résoudre.
   84/6.620626219 = une(6.620626219)/6.620626219
   12.68762157 = 1une
   12.68762157 = une
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   84 = 12.68762157(1.31)⁷ (Parenthèse)
   84 = 12,68762157 (6,620626219) (exposant)
   84 = 84 (multiplication)
2. une(1 -.65)³ = 56
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   une(.35)³ = 56 (parenthèses)
   une(.042875) = 56 (exposant)
   Divisez pour résoudre.
   une(.042875)/.042875 = 56/.042875
   une = 1,306.122449
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   une(1 -.65)³ = 56
   1,306.122449(.35)³ = 56 (parenthèses)
   1306,122449 (0,042875) = 56 (exposant)
   56 = 56 (multiplier)
3. une(1 + .10)⁵ = 100,000
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   une(1.10)⁵ = 100 000 (parenthèses)
   une(1.61051) = 100 000 (exposant)
   Divisez pour résoudre.
   une(1.61051)/1.61051 = 100,000/1.61051
   une = 62,092.13231
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   62,092.13231(1 + .10)⁵ = 100,000
   62,092.13231(1.10)⁵ = 100 000 (parenthèses)
   62 092,3231 (1,61051) = 100 000 (exposant)
   100 000 = 100 000 (multiplier)
4. 8,200 = une(1.20)¹⁵
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   8,200 = une(1.20)¹⁵ (Exposant)
   8,200 = une(15.40702157)
   Divisez pour résoudre.
   8,200/15.40702157 = une(15.40702157)/15.40702157
   532.2248665 = 1une
   532.2248665 = une
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   8,200 = 532.2248665(1.20)¹⁵
   8.200 = 532.2248665 (15.40702157) (exposant)
   8,200 = 8200 (Eh bien, 8,199.9999... Juste une petite erreur d'arrondi.) (Multiplier.)
5. une(1 -.33)² = 1,000
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   une(.67)² = 1000 (parenthèses)
   une(.4489) = 1 000 (exposant)
   Divisez pour résoudre.
   une(.4489)/.4489 = 1,000/.4489
   1une = 2,227.667632
   une = 2,227.667632
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   2,227.667632(1 -.33)² = 1,000
   2,227.667632(.67)² = 1000 (parenthèses)
   2.227,667632 (.4489) = 1000 (exposant)
   1000 = 1000 (multiplier)
6. une(.25)⁴ = 750
   Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.
   une(.00390625) = 750 (exposant)
   Divisez pour résoudre.
   une(.00390625)/00390625= 750/.00390625
   1a = 192 000
   a = 192 000
   Utilisez l'ordre des opérations pour vérifier votre réponse.
   192,000(.25)⁴ = 750
   192,000(.00390625) = 750
   750 = 750