Que sont les fonctions de croissance exponentielle?

Les fonctions exponentielles racontent les histoires de changements explosifs. Les deux types de fonctions exponentielles sont la croissance exponentielle et décroissance exponentielle. Quatre variables (variation en pourcentage, temps, quantité au début de la période et quantité à la fin de la période) jouent un rôle dans les fonctions exponentielles. Ce qui suit se concentre sur l'utilisation des fonctions de croissance exponentielle pour faire des prédictions.

La croissance exponentielle est le changement qui se produit lorsqu'un montant initial est augmenté d'un taux constant sur une période de temps

Utilisations de la croissance exponentielle dans la vie réelle:

• Valeurs des prix des maisons
• Valeurs des investissements
• Augmentation de l'adhésion à un site de réseautage social populaire

Edloe and Co. s'appuie sur la publicité de bouche à oreille, le réseau social d'origine. Cinquante acheteurs en ont parlé chacun à cinq personnes, puis chacun de ces nouveaux acheteurs a dit cinq autres personnes, et ainsi de suite. Le gestionnaire a enregistré la croissance des acheteurs de magasins.

• Semaine 0: 50 acheteurs
• Semaine 1: 250 acheteurs
• Semaine 2: 1 250 acheteurs
• Semaine 3: 6 250 acheteurs
• Semaine 4: 31 250 acheteurs

Tout d'abord, comment savez-vous que ces données représentent croissance exponentielle? Posez-vous deux questions.

1. Les valeurs augmentent-elles? Oui
2. Les valeurs montrent-elles une augmentation constante en pourcentage? Oui.

Augmentation en pourcentage: (plus récent - plus ancien) / (plus ancien) = (250 - 50) / 50 = 200/50 = 4,00 = 400%

Vérifiez que le pourcentage d'augmentation persiste tout au long du mois:

Augmentation en pourcentage: (plus récent - plus ancien) / (plus ancien) = (1250 - 250) / 250 = 4,00 = 400%
Augmentation en pourcentage: (plus récent - plus ancien) / (plus ancien) = (6 250 - 1 250) / 1 250 = 4,00 = 400%

Attention - ne confondez pas croissance exponentielle et croissance linéaire.

Ce qui suit représente une croissance linéaire:

• Semaine 1:50 acheteurs
• Semaine 2:50 acheteurs
• Semaine 3: 50 acheteurs
• Semaine 4:50 acheteurs

Remarque: La croissance linéaire signifie un nombre constant de clients (50 acheteurs par semaine); une croissance exponentielle signifie une augmentation constante en pourcentage (400%) des clients.

Voici une fonction de croissance exponentielle:

y = une(1 + b)^X

• y: Montant final restant sur une période de temps
• une: Le montant d'origine
• X: Temps
• le facteur de croissance est (1 + b).
• La variable, b, est la variation en pourcentage sous forme décimale.

Remplir les espaces vides:

• une = 50 acheteurs
• b = 4.00

y = 50(1 + 4)^X

Remarque: Ne remplissez pas les valeurs pour X et y. Les valeurs de X et y changera tout au long de la fonction, mais le montant d'origine et le pourcentage de changement resteront constants.

Supposons que la récession, principal moteur des acheteurs du magasin, persiste pendant 24 semaines. Combien de clients hebdomadaires le magasin aura-t-il au cours des 8^e la semaine?

Attention, ne doublez pas le nombre d'acheteurs au cours de la semaine 4 (31 250 * 2 = 62 500) et croyez que c'est la bonne réponse. N'oubliez pas que cet article concerne la croissance exponentielle, et non la croissance linéaire.

Utilisez l'ordre des opérations pour simplifier.

y = 50(1 + 4)^X

y = 50(1 + 4)⁸

y = 50(5)⁸ (Parenthèse)

y = 50 (390,625) (exposant)

y = 19,531,250 (multiplier)

19,531,250 acheteurs

Avant le début de la récession, les revenus mensuels du magasin oscillaient autour de 800 000 $. Un magasin revenu est le montant total que les clients dépensent dans le magasin pour des biens et services.

Revenus d'Edloe and Co.

• Avant la récession: 800 000 $
• 1 mois après la récession: 880 000 $
• 2 mois après la récession: 968 000 $
• 3 mois après la récession: 1 171 280 $
• 4 mois après la récession: 1288408 $

Utilisez les informations sur les revenus d'Edloe and Co pour effectuer les étapes 1 à 7.

1. Quels sont les revenus d'origine?
2. Quel est le facteur de croissance?
3. Comment ce modèle de données connaît-il une croissance exponentielle?
4. Écrivez une fonction exponentielle qui décrit ces données.
5. Écrivez une fonction pour prévoir les revenus dans le cinquième mois après le début de la récession.
6. Quels sont les revenus du cinquième mois après le début de la récession?
7. Supposons que le domaine de cette fonction exponentielle est de 16 mois. En d'autres termes, supposons que la récession durera 16 mois. À quel moment les revenus dépasseront-ils 3 millions de dollars?