Lors d'une mesure, un scientifique ne peut atteindre qu'un certain niveau de précision, limité soit par les outils utilisés, soit par la nature physique de la situation. L'exemple le plus évident est la mesure de la distance.
Considérez ce qui se passe lorsque vous mesurez la distance d'un objet à l'aide d'un ruban à mesurer (en unités métriques). Le ruban à mesurer est probablement divisé en plus petites unités de millimètres. Par conséquent, il est impossible de mesurer avec une précision supérieure au millimètre. Si l'objet se déplace de 57,215493 millimètres, par conséquent, nous pouvons seulement dire avec certitude qu'il a bougé de 57 millimètres (ou 5,7 centimètres ou 0,057 mètre, selon la préférence dans cette situation).
En général, ce niveau d'arrondi est correct. Obtention du mouvement précis d'un objet de taille normale jusqu'à un millimètre serait une réalisation assez impressionnante, en fait. Imaginez que vous essayiez de mesurer le mouvement d'une voiture au millimètre près, et vous verrez qu'en général, ce n'est pas nécessaire. Dans les cas où une telle précision est nécessaire, vous utiliserez des outils beaucoup plus sophistiqués qu'un ruban à mesurer.
Le nombre de nombres significatifs dans une mesure est appelé le nombre de chiffres significatifs du nombre. Dans l'exemple précédent, la réponse de 57 millimètres nous fournirait 2 chiffres significatifs dans notre mesure.
Zéros et chiffres significatifs
Considérez le nombre 5 200.
Sauf indication contraire, il est généralement courant de supposer que seuls les deux chiffres non nuls sont significatifs. En d'autres termes, on suppose que ce nombre était arrondi à la centaine près.
Cependant, si le nombre est écrit comme 5 200,0, il aurait alors cinq chiffres significatifs. Le point décimal et le zéro suivant ne sont ajoutés que si le la mesure est précis à ce niveau.
De même, le nombre 2,30 aurait trois chiffres significatifs, car le zéro à la fin indique que le scientifique qui a effectué la mesure l'a fait à ce niveau de précision.
Certains manuels ont également introduit la convention selon laquelle un point décimal à la fin d'un nombre entier indique également des chiffres significatifs. Donc 800. aurait trois chiffres significatifs tandis que 800 n'a qu'un seul chiffre significatif. Encore une fois, cela est quelque peu variable selon le manuel.
Voici quelques exemples de nombres différents de chiffres significatifs, pour aider à solidifier le concept:
Un chiffre significatif
4
900
0.00002
Deux chiffres significatifs
3.7
0.0059
68,000
5.0
Trois chiffres significatifs
9.64
0.00360
99,900
8.00
900. (dans certains manuels)
Mathématiques avec des chiffres significatifs
Les figures scientifiques fournissent des règles mathématiques différentes de celles qui vous sont présentées dans votre classe de mathématiques. La clé de l'utilisation de chiffres significatifs est de s'assurer que vous maintenez le même niveau de précision tout au long du calcul. En mathématiques, vous conservez tous les chiffres de votre résultat, tandis que dans les travaux scientifiques, vous arrondissez fréquemment en fonction des chiffres significatifs impliqués.
Lors de l'ajout ou de la soustraction de données scientifiques, seul le dernier chiffre (le chiffre le plus à droite) importe. Par exemple, supposons que nous ajoutons trois distances différentes:
5.324 + 6.8459834 + 3.1
Le premier terme du problème d'addition a quatre chiffres significatifs, le second en a huit et le troisième n'en a que deux. La précision, dans ce cas, est déterminée par le point décimal le plus court. Vous allez donc effectuer votre calcul, mais au lieu de 15.2699834 le résultat sera 15.3, car vous arrondirez à la dixième place (la première place après le point décimal), car si deux des votre des mesures sont plus précis que le troisième ne peut pas vous dire plus que la dixième place, donc le résultat de ce problème d'addition ne peut être que très précis aussi.
Notez que votre réponse finale, dans ce cas, comporte trois chiffres significatifs, tandis que aucun de vos numéros de départ l'ont fait. Cela peut être très déroutant pour les débutants, et il est important de prêter attention à cette propriété d'addition et de soustraction.
En revanche, lors de la multiplication ou de la division des données scientifiques, le nombre de chiffres significatifs importe. La multiplication des chiffres significatifs se traduira toujours par une solution qui a les mêmes chiffres significatifs que les plus petits chiffres significatifs avec lesquels vous avez commencé. Donc, pour l'exemple:
5,638 x 3,1
Le premier facteur a quatre chiffres significatifs et le second facteur a deux chiffres significatifs. Votre solution aboutira donc à deux chiffres significatifs. Dans ce cas, ce sera 17 au lieu de 17.4778. Vous effectuez le calcul ensuite arrondissez votre solution au nombre correct de chiffres significatifs. La précision supplémentaire dans la multiplication ne fera pas de mal, vous ne voulez tout simplement pas donner un faux niveau de précision dans votre solution finale.
Utilisation de la notation scientifique
La physique traite des domaines de l'espace allant de la taille inférieure à un proton à la taille de l'univers. À ce titre, vous vous retrouvez avec des nombres très grands et très petits. Généralement, seuls les premiers de ces chiffres sont significatifs. Personne ne va (ou ne peut) mesurer la largeur de l'univers au millimètre près.
Remarque
Cette partie de l'article traite de la manipulation de nombres exponentiels (c'est-à-dire 105, 10-8, etc.) et il est supposé que le lecteur a une compréhension de ces concepts mathématiques. Bien que le sujet puisse être délicat pour de nombreux étudiants, il n'entre pas dans le cadre de cet article.
Afin de manipuler ces chiffres facilement, les scientifiques utilisent notation scientifique. Les chiffres significatifs sont répertoriés, puis multipliés par dix à la puissance nécessaire. La vitesse de la lumière s'écrit: [teinte blackquote = non] 2.997925 x 108 m / s
Il y a 7 chiffres significatifs et c'est bien mieux que d'écrire 299 792 500 m / s.
Remarque
La vitesse de la lumière est souvent écrite comme 3,00 x 108 m / s, auquel cas il n'y a que trois chiffres significatifs. Encore une fois, il s'agit du niveau de précision nécessaire.
Cette notation est très pratique pour la multiplication. Vous suivez les règles décrites précédemment pour multiplier les nombres significatifs, en gardant le plus petit nombre de chiffres significatifs, puis vous multipliez les grandeurs, qui suit la règle additive de exposants. L'exemple suivant devrait vous aider à le visualiser:
2,3 x 103 x 3,19 x 104 = 7,3 x 107
Le produit n'a que deux chiffres significatifs et l'ordre de grandeur est 107 car 103 x 104 = 107
L'ajout d'une notation scientifique peut être très facile ou très délicat, selon la situation. Si les termes sont du même ordre de grandeur (c'est-à-dire 4.3005 x 105 et 13,5 x 105), alors vous suivez les règles d'addition discutées plus tôt, en conservant la valeur de position la plus élevée comme lieu d'arrondi et en conservant la même ampleur, comme dans l'exemple suivant exemple:
4.3005 x 105 + 13,5 x 105 = 17,8 x 105
Si l'ordre de grandeur est différent, cependant, vous devez travailler un peu pour obtenir les mêmes grandeurs, comme dans l'exemple suivant, où un terme est sur la magnitude de 105 et l'autre terme est sur la magnitude de 106:
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 4,8 x 105 + 92 x 105 = 97 x 105
ou
4,8 x 105 + 9,2 x 106 = 0,48 x 106 + 9,2 x 106 = 9,7 x 106
Ces deux solutions sont les mêmes, ce qui donne 9 700 000 comme réponse.
De même, de très petits nombres sont également fréquemment écrits en notation scientifique, bien qu'avec un exposant négatif sur la grandeur au lieu de l'exposant positif. La masse d'un électron est:
9.10939 x 10-31 kg
Ce serait un zéro, suivi d'un point décimal, suivi de 30 zéros, puis de la série de 6 chiffres significatifs. Personne ne veut l'écrire, donc la notation scientifique est notre amie. Toutes les règles décrites ci-dessus sont les mêmes, que l'exposant soit positif ou négatif.
Les limites des chiffres importants
Les chiffres significatifs sont un moyen de base que les scientifiques utilisent pour fournir une mesure de la précision des chiffres qu'ils utilisent. Le processus d'arrondi impliqué introduit encore une mesure d'erreur dans les nombres, cependant, et dans les calculs de très haut niveau, il existe d'autres méthodes statistiques qui sont utilisées. Pour la quasi-totalité de la physique qui sera effectuée dans les salles de classe de niveau secondaire et collégial, cependant, une utilisation correcte de chiffres significatifs sera suffisante pour maintenir le niveau précision.
Commentaires finaux
Les chiffres significatifs peuvent être une pierre d'achoppement importante lorsqu'ils sont présentés pour la première fois aux élèves, car ils modifient certaines des règles mathématiques de base qui leur ont été enseignées pendant des années. Avec des chiffres significatifs, 4 x 12 = 50, par exemple.
De même, l'introduction de la notation scientifique aux étudiants qui peuvent ne pas être à l'aise avec les exposants ou les règles exponentielles peut également créer des problèmes. Gardez à l'esprit que ce sont des outils que tous ceux qui étudient les sciences ont dû apprendre à un moment donné, et les règles sont en fait très basiques. Le problème est de se rappeler presque entièrement quelle règle est appliquée à quel moment. Quand dois-je ajouter des exposants et quand les soustraire? Quand dois-je déplacer le séparateur décimal vers la gauche et quand vers la droite? Si vous continuez à pratiquer ces tâches, vous les améliorerez jusqu'à ce qu'elles deviennent une seconde nature.
Enfin, le maintien d'unités appropriées peut être délicat. N'oubliez pas que vous ne pouvez pas ajouter directement des centimètres et mètres, par exemple, mais doit d'abord les convertir à la même échelle. C'est une erreur courante pour les débutants mais, comme les autres, c'est quelque chose qui peut très facilement être surmonté en ralentissant, en faisant attention et en réfléchissant à ce que vous faites.