Utilisation des fonctions utilitaires Quasiconcave en économie

"Quasiconcave" est un concept mathématique qui a plusieurs applications en économie. Pour comprendre la signification des applications du terme en économie, il est utile de commencer par un bref examen des origines et de la signification du terme en mathématiques.

Le terme «quasiconcave» a été introduit au début du XXe siècle dans les travaux de John von Neumann, Werner Fenchel et Bruno de Finetti, tous éminents mathématiciens intéressés par les mathématiques théoriques et appliquées, leurs recherches dans des domaines tels que la théorie des probabilités, la théorie des jeux et la topologie a finalement jeté les bases d'un domaine de recherche indépendant appelé «convexité généralisée». Alors que le terme "quasiconcave: a des applications dans de nombreux domaines, comprenant économie, il trouve son origine dans le domaine de la convexité généralisée en tant que concept topologique.

La brève et lisible explication de la topologie par le professeur Robert Bruner de Wayne State Mathematics commence par la compréhension que la topologie est une forme spéciale de

Cela semble un peu étrange, mais considérez que si vous prenez un cercle et commencez à écraser dans quatre directions, avec un écrasement soigneux, vous pouvez produire un carré. Ainsi, un carré et un cercle sont topologiquement équivalents. De même, si vous pliez un côté d'un triangle jusqu'à ce que vous ayez créé un autre coin quelque part le long de ce côté, avec plus de flexion, de poussée et de traction, vous pouvez transformer un triangle en carré. Encore une fois, un triangle et un carré sont topologiquement équivalents.

Quasiconcave est une propriété topologique qui inclut la concavité. Si vous représentez graphiquement une fonction mathématique et que le graphique ressemble plus ou moins à un bol mal fait avec quelques bosses en elle, mais a toujours une dépression au centre et deux extrémités qui s'inclinent vers le haut, c'est une fonction quasi-concave.

Il s'avère qu'une fonction concave n'est qu'une instance spécifique d'une fonction quasi-concave, sans les bosses. Du point de vue d'un profane (un mathématicien a une façon plus rigoureuse de l'exprimer), une fonction quasi-concave inclut toutes les fonctions concaves et également toutes les fonctions qui sont globalement concaves mais qui peuvent avoir des sections qui sont en fait convexe. Encore une fois, imaginez un bol mal fait avec quelques bosses et protubérances.

Une façon de représenter mathématiquement les préférences des consommateurs (ainsi que de nombreux autres comportements) est fonction d'utilité. Si, par exemple, les consommateurs préfèrent le bon A au bon B, la fonction d'utilité U exprime cette préférence comme:

U (A)> U (B)

Si vous représentez graphiquement cette fonction pour un ensemble réel de consommateurs et de biens, vous constaterez peut-être que le graphique ressemble un peu à un bol - plutôt qu'à une ligne droite, il y a un affaissement au milieu. Ce fléchissement représente généralement l'aversion des consommateurs au risque. Encore une fois, dans le monde réel, cette aversion n'est pas cohérente: le graphique des préférences des consommateurs ressemble un peu à un bol imparfait, avec un certain nombre de bosses. Au lieu d'être concave, il est généralement concave mais pas parfaitement à chaque point du graphique, qui peut avoir des sections de convexité mineures.

En d'autres termes, notre graphique d'exemple des préférences des consommateurs (un peu comme de nombreux exemples du monde réel) est quasi-concave. Ils indiquent à quiconque souhaite en savoir plus sur le comportement des consommateurs - les économistes et les sociétés vendant des biens de consommation, par exemple - où et comment les clients réagissent aux changements en termes de bons montants ou de coûts.